Производная (3^x)/(9^x)

Вы ввели

 x
3 
--
 x
9 

$$\frac{3^{x}}{9^{x}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 3^{x}$ и $g{\left (x \right )} = 9^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left (3 \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 9^{x} = 9^{x} \log{\left (9 \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $9^{- 2 x} \left(- 27^{x} \log{\left (9 \right )} + 27^{x} \log{\left (3 \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- 3^{- x} \log{\left (3 \right )}$

---

Ответ:

$- 3^{- x} \log{\left (3 \right )}$

Первая производная

 x  -x           x  -x       
3 *9  *log(3) - 3 *9  *log(9)

$$- 3^{x} 9^{- x} \log{\left (9 \right )} + 3^{x} 9^{- x} \log{\left (3 \right )}$$

Вторая производная

 x  -x /   2         2                     \
3 *9  *\log (3) + log (9) - 2*log(3)*log(9)/

$$3^{x} 9^{- x} \left(- 2 \log{\left (3 \right )} \log{\left (9 \right )} + \log^{2}{\left (3 \right )} + \log^{2}{\left (9 \right )}\right)$$

Третья производная

 x  -x /   3         3           2                  2          \
3 *9  *\log (3) - log (9) - 3*log (3)*log(9) + 3*log (9)*log(3)/

$$3^{x} 9^{- x} \left(- \log^{3}{\left (9 \right )} - 3 \log^{2}{\left (3 \right )} \log{\left (9 \right )} + \log^{3}{\left (3 \right )} + 3 \log{\left (3 \right )} \log^{2}{\left (9 \right )}\right)$$