Производная 8*cos(cot(z))

Вы ввели

8*cos(cot(z))

$$8 \cos{\left (\cot{\left (z \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \cot{\left (z \right )}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z} \cot{\left (z \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d z} \cot{\left (z \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (z \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\left(\sin^{2}{\left (z \right )} + \cos^{2}{\left (z \right )}\right) \sin{\left (\cot{\left (z \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (z \right )} \tan^{2}{\left (z \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{8 \sin{\left (\cot{\left (z \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (z \right )} \tan^{2}{\left (z \right )}} \left(\sin^{2}{\left (z \right )} + \cos^{2}{\left (z \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{8 \sin{\left (\frac{1}{\tan{\left (z \right )}} \right )}}{\sin^{2}{\left (z \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{8 \sin{\left (\frac{1}{\tan{\left (z \right )}} \right )}}{\sin^{2}{\left (z \right )}}$

Первая производная

   /        2   \            
-8*\-1 - cot (z)/*sin(cot(z))

$$- 8 \left(- \cot^{2}{\left (z \right )} - 1\right) \sin{\left (\cot{\left (z \right )} \right )}$$

Вторая производная

   /       2   \ //       2   \                                   \
-8*\1 + cot (z)/*\\1 + cot (z)/*cos(cot(z)) + 2*cot(z)*sin(cot(z))/

$$- 8 \left(\left(\cot^{2}{\left (z \right )} + 1\right) \cos{\left (\cot{\left (z \right )} \right )} + 2 \sin{\left (\cot{\left (z \right )} \right )} \cot{\left (z \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (z \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /               2                                                                                                       \
  /       2   \ |  /       2   \                  /       2   \                    2                    /       2   \                   |
8*\1 + cot (z)/*\- \1 + cot (z)/ *sin(cot(z)) + 2*\1 + cot (z)/*sin(cot(z)) + 4*cot (z)*sin(cot(z)) + 6*\1 + cot (z)/*cos(cot(z))*cot(z)/

$$8 \left(\cot^{2}{\left (z \right )} + 1\right) \left(- \left(\cot^{2}{\left (z \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (\cot{\left (z \right )} \right )} + 2 \left(\cot^{2}{\left (z \right )} + 1\right) \sin{\left (\cot{\left (z \right )} \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (z \right )} + 1\right) \cos{\left (\cot{\left (z \right )} \right )} \cot{\left (z \right )} + 4 \sin{\left (\cot{\left (z \right )} \right )} \cot^{2}{\left (z \right )}\right)$$