Производная x/(log(x)-1)

Вы ввели

    x     
----------
log(x) - 1

$$\frac{x}{\log{\left (x \right )} - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\log{\left (x \right )} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $\frac{1}{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\log{\left (x \right )} - 2}{\left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\log{\left (x \right )} - 2}{\left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    1              1      
---------- - -------------
log(x) - 1               2
             (log(x) - 1) 

$$\frac{1}{\log{\left (x \right )} - 1} - \frac{1}{\left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

          2     
-1 + -----------
     -1 + log(x)
----------------
               2
x*(-1 + log(x)) 

$$\frac{-1 + \frac{2}{\log{\left (x \right )} - 1}}{x \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$$

Третья производная

          6       
1 - --------------
                 2
    (-1 + log(x)) 
------------------
 2              2 
x *(-1 + log(x))  

$$\frac{1 - \frac{6}{\left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}}{x^{2} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$$