Производная x/(1+cbrt(x))

Вы ввели

    x    
---------
    3 ___
1 + \/ x 

$$\frac{x}{\sqrt[3]{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\sqrt[3]{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{x}$ получим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

      В результате: $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{2 \sqrt[3]{x}}{3} + 1}{\left(\sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 \sqrt[3]{x} + 3}{3 \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sqrt[3]{x} + 3}{3 \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

                3 ___     
    1           \/ x      
--------- - --------------
    3 ___                2
1 + \/ x      /    3 ___\ 
            3*\1 + \/ x / 

$$- \frac{\sqrt[3]{x}}{3 \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x} + 1}$$

Вторая производная

  /    1         2  \
2*|--------- - -----|
  |    3 ___   3 ___|
  \1 + \/ x    \/ x /
---------------------
                    2
   3 ___ /    3 ___\ 
 9*\/ x *\1 + \/ x / 

$$\frac{\frac{2}{\sqrt[3]{x} + 1} - \frac{4}{\sqrt[3]{x}}}{9 \sqrt[3]{x} \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  / 4           3                 3        \
2*|---- - -------------- + ----------------|
  | 5/3                2    4/3 /    3 ___\|
  |x        /    3 ___\    x   *\1 + \/ x /|
  \       x*\1 + \/ x /                    /
--------------------------------------------
                            2               
                 /    3 ___\                
              27*\1 + \/ x /                

$$\frac{1}{27 \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}} \left(- \frac{6}{x \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}} + \frac{6}{x^{\frac{4}{3}} \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)} + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}\right)$$