Производная (x^2-6*x+8)/(x^2-6*x+45)

Вы ввели

  2          
 x  - 6*x + 8
-------------
 2           
x  - 6*x + 45

$$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{x^{2} - 6 x + 45}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} - 6 x + 8$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} - 6 x + 45$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 6 x + 8$ почленно:

      1. Производная постоянной $8$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-6$

      В результате: $2 x - 6$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 6 x + 45$ почленно:

      1. Производная постоянной $45$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-6$

      В результате: $2 x - 6$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x^{2} - 6 x + 45\right)^{2}} \left(- \left(2 x - 6\right) \left(x^{2} - 6 x + 8\right) + \left(2 x - 6\right) \left(x^{2} - 6 x + 45\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{74 x - 222}{\left(x^{2} - 6 x + 45\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{74 x - 222}{\left(x^{2} - 6 x + 45\right)^{2}}$

Первая производная

                          / 2          \
   -6 + 2*x     (6 - 2*x)*\x  - 6*x + 8/
------------- + ------------------------
 2                                 2    
x  - 6*x + 45       / 2           \     
                    \x  - 6*x + 45/     

$$\frac{\left(- 2 x + 6\right) \left(x^{2} - 6 x + 8\right)}{\left(x^{2} - 6 x + 45\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x^{2} - 6 x + 45}$$

Вторая производная

  /          2                    2              2 /     2      \\
  |     8 + x  - 6*x    4*(-3 + x)     4*(-3 + x) *\8 + x  - 6*x/|
2*|1 - ------------- - ------------- + --------------------------|
  |          2               2                             2     |
  |    45 + x  - 6*x   45 + x  - 6*x        /      2      \      |
  \                                         \45 + x  - 6*x/      /
------------------------------------------------------------------
                                2                                 
                          45 + x  - 6*x                           

$$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 45} \left(\frac{8 \left(x - 3\right)^{2} \left(x^{2} - 6 x + 8\right)}{\left(x^{2} - 6 x + 45\right)^{2}} - \frac{8 \left(x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 6 x + 45} - \frac{2 x^{2} - 12 x + 16}{x^{2} - 6 x + 45} + 2\right)$$

Третья производная

            /           2                    2              2 /     2      \\
            |      8 + x  - 6*x    2*(-3 + x)     2*(-3 + x) *\8 + x  - 6*x/|
24*(-3 + x)*|-1 + ------------- + ------------- - --------------------------|
            |           2               2                             2     |
            |     45 + x  - 6*x   45 + x  - 6*x        /      2      \      |
            \                                          \45 + x  - 6*x/      /
-----------------------------------------------------------------------------
                                              2                              
                               /      2      \                               
                               \45 + x  - 6*x/                               

$$\frac{24}{\left(x^{2} - 6 x + 45\right)^{2}} \left(x - 3\right) \left(- \frac{2 \left(x - 3\right)^{2} \left(x^{2} - 6 x + 8\right)}{\left(x^{2} - 6 x + 45\right)^{2}} + \frac{2 \left(x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 6 x + 45} + \frac{x^{2} - 6 x + 8}{x^{2} - 6 x + 45} - 1\right)$$