Производная ((x^2+1)/(3*x+2))

Вы ввели

  2    
 x  + 1
-------
3*x + 2

$$\frac{x^{2} + 1}{3 x + 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} + 1$ и $g{\left (x \right )} = 3 x + 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $3 x + 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $3$

      В результате: $3$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(3 x + 2\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} + 2 x \left(3 x + 2\right) - 3\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{9 x^{2} + 12 x + 4}$

---

Ответ:

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{9 x^{2} + 12 x + 4}$

Первая производная

    / 2    \          
  3*\x  + 1/     2*x  
- ---------- + -------
           2   3*x + 2
  (3*x + 2)           

$$\frac{2 x}{3 x + 2} - \frac{3 x^{2} + 3}{\left(3 x + 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /                /     2\\
  |      6*x     9*\1 + x /|
2*|1 - ------- + ----------|
  |    2 + 3*x            2|
  \              (2 + 3*x) /
----------------------------
          2 + 3*x           

$$\frac{1}{3 x + 2} \left(- \frac{12 x}{3 x + 2} + 2 + \frac{18 x^{2} + 18}{\left(3 x + 2\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

   /       /     2\          \
   |     9*\1 + x /     6*x  |
18*|-1 - ---------- + -------|
   |              2   2 + 3*x|
   \     (2 + 3*x)           /
------------------------------
                   2          
          (2 + 3*x)           

$$\frac{1}{\left(3 x + 2\right)^{2}} \left(\frac{108 x}{3 x + 2} - 18 - \frac{162 x^{2} + 162}{\left(3 x + 2\right)^{2}}\right)$$