Производная x^5*cot(x)

Вы ввели

 5       
x *cot(x)

$$x^{5} \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x^{5}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{x^{5} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 5 x^{4} \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $x^{4} \left(- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{5}{\tan{\left (x \right )}}\right)$

---

Ответ:

$x^{4} \left(- \frac{x}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{5}{\tan{\left (x \right )}}\right)$

Первая производная

 5 /        2   \      4       
x *\-1 - cot (x)/ + 5*x *cot(x)

$$x^{5} \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + 5 x^{4} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

   3 /                /       2   \    2 /       2   \       \
2*x *\10*cot(x) - 5*x*\1 + cot (x)/ + x *\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 x^{3} \left(x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 5 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 10 \cot{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

     /                            2                                                                               \
   2 |             3 /       2   \         /       2   \      3    2    /       2   \       2 /       2   \       |
2*x *\30*cot(x) - x *\1 + cot (x)/  - 30*x*\1 + cot (x)/ - 2*x *cot (x)*\1 + cot (x)/ + 15*x *\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 x^{2} \left(- x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - 2 x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 15 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 30 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 30 \cot{\left (x \right )}\right)$$