Производная 2*(1+x^2/(-1+x)^2-2*x/(-1+x))/(-1+x)

Вы ввели

  /         2            \
  |        x        2*x  |
2*|1 + --------- - ------|
  |            2   -1 + x|
  \    (-1 + x)          /
--------------------------
          -1 + x          

$$\frac{2}{x - 1} \left(- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - 4 x \left(x - 1\right)^{2} + 2 \left(x - 1\right) \left(x^{2} + \left(x - 1\right)^{2}\right)$ и $g{\left (x \right )} = \left(x - 1\right)^{4}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- 4 x \left(x - 1\right)^{2} + 2 \left(x - 1\right) \left(x^{2} + \left(x - 1\right)^{2}\right)$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Применяем правило производной умножения:

            $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

            $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            $g{\left (x \right )} = \left(x - 1\right)^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

            1. Заменим $u = x - 1$.

            2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

               1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

                  1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

                  2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  В результате: $1$

               В результате последовательности правил:

               $2 x - 2$

            В результате: $x \left(2 x - 2\right) + \left(x - 1\right)^{2}$

         Таким образом, в результате: $- 4 x \left(2 x - 2\right) - 4 \left(x - 1\right)^{2}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Применяем правило производной умножения:

            $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

            $f{\left (x \right )} = x - 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

            1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

               1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

               2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               В результате: $1$

            $g{\left (x \right )} = x^{2} + \left(x - 1\right)^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

            1. дифференцируем $x^{2} + \left(x - 1\right)^{2}$ почленно:

               1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

               2. Заменим $u = x - 1$.

               3. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

               4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

                  1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

                     1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

                     2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     В результате: $1$

                  В результате последовательности правил:

                  $2 x - 2$

               В результате: $4 x - 2$

            В результате: $x^{2} + \left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 1\right) \left(4 x - 2\right)$

         Таким образом, в результате: $2 x^{2} + 2 \left(x - 1\right)^{2} + 2 \left(x - 1\right) \left(4 x - 2\right)$

      В результате: $2 x^{2} - 4 x \left(2 x - 2\right) - 2 \left(x - 1\right)^{2} + 2 \left(x - 1\right) \left(4 x - 2\right)$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x - 1$.

   2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $4 \left(x - 1\right)^{3}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{8}} \left(\left(x - 1\right)^{4} \left(2 x^{2} - 4 x \left(2 x - 2\right) - 2 \left(x - 1\right)^{2} + 2 \left(x - 1\right) \left(4 x - 2\right)\right) - 4 \left(x - 1\right)^{3} \left(- 4 x \left(x - 1\right)^{2} + 2 \left(x - 1\right) \left(x^{2} + \left(x - 1\right)^{2}\right)\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{6}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{6}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1}$

Первая производная

                          2               /         2            \
    4         8*x      2*x *(2 - 2*x)     |        x        2*x  |
- ------ + --------- + --------------   2*|1 + --------- - ------|
  -1 + x           2             4        |            2   -1 + x|
           (-1 + x)      (-1 + x)         \    (-1 + x)          /
------------------------------------- - --------------------------
                -1 + x                                  2         
                                                (-1 + x)          

$$\frac{1}{x - 1} \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{4}} \left(- 2 x + 2\right) + \frac{8 x}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{x - 1}\right) - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \frac{4 x}{x - 1} + 2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1\right)\right)$$

Вторая производная

  /                   2  \
  |     12*x       6*x   |
4*|6 - ------ + ---------|
  |    -1 + x           2|
  \             (-1 + x) /
--------------------------
                3         
        (-1 + x)          

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(\frac{24 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{48 x}{x - 1} + 24\right)$$

Третья производная

   /            2           \
   |        10*x       20*x |
12*|-10 - --------- + ------|
   |              2   -1 + x|
   \      (-1 + x)          /
-----------------------------
                  4          
          (-1 + x)           

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{4}} \left(- \frac{120 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{240 x}{x - 1} - 120\right)$$