Производная e^(2-x)*cos((pi*x)/2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
 2 - x    /pi*x\
E     *cos|----|
          \ 2  /
ex+2cos(πx2)e^{- x + 2} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}
Подробное решение
  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=ex+2f{\left (x \right )} = e^{- x + 2}; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=x+2u = - x + 2.

    2. Производная eue^{u} само оно.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(x+2)\frac{d}{d x}\left(- x + 2\right):

      1. дифференцируем x+2- x + 2 почленно:

        1. Производная постоянной 22 равна нулю.

        2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 1-1

        В результате: 1-1

      В результате последовательности правил:

      ex+2- e^{- x + 2}

    g(x)=cos(πx2)g{\left (x \right )} = \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=πx2u = \frac{\pi x}{2}.

    2. Производная косинус есть минус синус:

      dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(πx2)\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi x}{2}\right):

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: π\pi

        Таким образом, в результате: π2\frac{\pi}{2}

      В результате последовательности правил:

      π2sin(πx2)- \frac{\pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}

    В результате: π2ex+2sin(πx2)ex+2cos(πx2)- \frac{\pi}{2} e^{- x + 2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - e^{- x + 2} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}

  2. Теперь упростим:

    (π2sin(πx2)+cos(πx2))ex+2- \left(\frac{\pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}


Ответ:

(π2sin(πx2)+cos(πx2))ex+2- \left(\frac{\pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}

График
02468-8-6-4-2-1010-500000500000
Первая производная [src]
                         2 - x    /pi*x\
                     pi*e     *sin|----|
     /pi*x\  2 - x                \ 2  /
- cos|----|*e      - -------------------
     \ 2  /                   2         
π2ex+2sin(πx2)ex+2cos(πx2)- \frac{\pi}{2} e^{- x + 2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - e^{- x + 2} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}
Вторая производная [src]
/                 2    /pi*x\            \       
|               pi *cos|----|            |       
|      /pi*x\          \ 2  /      /pi*x\|  2 - x
|pi*sin|----| - ------------- + cos|----||*e     
\      \ 2  /         4            \ 2  //       
(πsin(πx2)π24cos(πx2)+cos(πx2))ex+2\left(\pi \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - \frac{\pi^{2}}{4} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}
Третья производная [src]
/                      /pi*x\     3    /pi*x\       2    /pi*x\\       
|              3*pi*sin|----|   pi *sin|----|   3*pi *cos|----||       
|     /pi*x\           \ 2  /          \ 2  /            \ 2  /|  2 - x
|- cos|----| - -------------- + ------------- + ---------------|*e     
\     \ 2  /         2                8                4       /       
(3π2sin(πx2)+π38sin(πx2)cos(πx2)+3π24cos(πx2))ex+2\left(- \frac{3 \pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \frac{\pi^{3}}{8} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \frac{3 \pi^{2}}{4} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}