Найти производную y' = f'(x) = e^(2-x)*cos((pi*x)/2) (e в степени (2 минус х) умножить на косинус от ((число пи умножить на х) делить на 2)) - функции. Найдём значение производной функции в точке. [Есть ОТВЕТ!]

Производная e^(2-x)*cos((pi*x)/2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😉

()'

- производная -го порядка в точке

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
 2 - x    /pi*x\
E     *cos|----|
          \ 2  /
$$e^{- x + 2} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$$
Подробное решение
  1. Применяем правило производной умножения:

    ; найдём :

    1. Заменим .

    2. Производная само оно.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. дифференцируем почленно:

        1. Производная постоянной равна нулю.

        2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: получим

          Таким образом, в результате:

        В результате:

      В результате последовательности правил:

    ; найдём :

    1. Заменим .

    2. Производная косинус есть минус синус:

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: получим

          Таким образом, в результате:

        Таким образом, в результате:

      В результате последовательности правил:

    В результате:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная [src]
                         2 - x    /pi*x\
                     pi*e     *sin|----|
     /pi*x\  2 - x                \ 2  /
- cos|----|*e      - -------------------
     \ 2  /                   2         
$$- \frac{\pi}{2} e^{- x + 2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - e^{- x + 2} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$$
Вторая производная [src]
/                 2    /pi*x\            \       
|               pi *cos|----|            |       
|      /pi*x\          \ 2  /      /pi*x\|  2 - x
|pi*sin|----| - ------------- + cos|----||*e     
\      \ 2  /         4            \ 2  //       
$$\left(\pi \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - \frac{\pi^{2}}{4} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}$$
Третья производная [src]
/                      /pi*x\     3    /pi*x\       2    /pi*x\\       
|              3*pi*sin|----|   pi *sin|----|   3*pi *cos|----||       
|     /pi*x\           \ 2  /          \ 2  /            \ 2  /|  2 - x
|- cos|----| - -------------- + ------------- + ---------------|*e     
\     \ 2  /         2                8                4       /       
$$\left(- \frac{3 \pi}{2} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \frac{\pi^{3}}{8} \sin{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + \frac{3 \pi^{2}}{4} \cos{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}\right) e^{- x + 2}$$
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: