Производная x^2*sqrt(1-x^2)

Вы ввели

      ________
 2   /      2 
x *\/  1 - x  

$$x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}$$

  /      ________\
d | 2   /      2 |
--\x *\/  1 - x  /
dx                

$$\frac{d}{d x} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x^{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 1 - x^{2}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right)$:

      1. дифференцируем $1 - x^{2}$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            Таким образом, в результате: $- 2 x$

         В результате: $- 2 x$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

   В результате: $- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(2 - 3 x^{2}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(2 - 3 x^{2}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Первая производная

        3              ________
       x              /      2 
- ----------- + 2*x*\/  1 - x  
     ________                  
    /      2                   
  \/  1 - x                    

$$- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}$$

Вторая производная

                                 /         2  \
                               2 |        x   |
                              x *|-1 + -------|
     ________          2         |           2|
    /      2        4*x          \     -1 + x /
2*\/  1 - x   - ----------- + -----------------
                   ________         ________   
                  /      2         /      2    
                \/  1 - x        \/  1 - x     

$$\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \sqrt{1 - x^{2}}$$

Третья производная

    /                  /         2  \\
    |                2 |        x   ||
    |               x *|-1 + -------||
    |          2       |           2||
    |       2*x        \     -1 + x /|
3*x*|-4 + ------- + -----------------|
    |           2              2     |
    \     -1 + x          1 - x      /
--------------------------------------
                ________              
               /      2               
             \/  1 - x                

$$\frac{3 x \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{1 - x^{2}} - 4\right)}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$

График