Производная (x^3+1)/(x^2+x)

Вы ввели

 3    
x  + 1
------
 2    
x  + x

$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{3} + 1$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} + x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{3} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате: $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + x$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x + 1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x^{2} + x\right)^{2}} \left(3 x^{2} \left(x^{2} + x\right) - \left(2 x + 1\right) \left(x^{3} + 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $1 - \frac{1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Первая производная

    2               / 3    \
 3*x     (-1 - 2*x)*\x  + 1/
------ + -------------------
 2                    2     
x  + x        / 2    \      
              \x  + x/      

$$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{1}{\left(x^{2} + x\right)^{2}} \left(- 2 x - 1\right) \left(x^{3} + 1\right)$$

Вторая производная

  /                         3              2 /     3\\
  |    3*(1 + 2*x)     1 + x      (1 + 2*x) *\1 + x /|
2*|3 - ----------- - ---------- + -------------------|
  |       1 + x       2                3        2    |
  \                  x *(1 + x)       x *(1 + x)     /
------------------------------------------------------
                        1 + x                         

$$\frac{1}{x + 1} \left(6 - \frac{12 x + 6}{x + 1} - \frac{2 x^{3} + 2}{x^{2} \left(x + 1\right)} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)^{2} \left(x^{3} + 1\right)}{x^{3} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

  /                                     2            3 /     3\     /     3\          \
  |1     3     3*(1 + 2*x)   3*(1 + 2*x)    (1 + 2*x) *\1 + x /   2*\1 + x /*(1 + 2*x)|
6*|- - ----- - ----------- + ------------ - ------------------- + --------------------|
  |x   1 + x    x*(1 + x)              2         4        3            3        2     |
  \                           x*(1 + x)         x *(1 + x)            x *(1 + x)      /
---------------------------------------------------------------------------------------
                                         1 + x                                         

$$\frac{1}{x + 1} \left(- \frac{18}{x + 1} + \frac{6}{x} - \frac{36 x + 18}{x \left(x + 1\right)} + \frac{18 \left(2 x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{12 \left(2 x + 1\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{3} \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6 \left(2 x + 1\right)^{3} \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} \left(x + 1\right)^{3}}\right)$$