Производная sin(4*x^3-2)^(6)

Вы ввели

   6/   3    \
sin \4*x  - 2/

$$\sin^{6}{\left (4 x^{3} - 2 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (4 x^{3} - 2 \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{6}$ получим $6 u^{5}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (4 x^{3} - 2 \right )}$:

   1. Заменим $u = 4 x^{3} - 2$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x^{3} - 2\right)$:

      1. дифференцируем $4 x^{3} - 2$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

            Таким образом, в результате: $12 x^{2}$

         2. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

         В результате: $12 x^{2}$

      В результате последовательности правил:

      $12 x^{2} \cos{\left (4 x^{3} - 2 \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $72 x^{2} \sin^{5}{\left (4 x^{3} - 2 \right )} \cos{\left (4 x^{3} - 2 \right )}$

4. Теперь упростим:

   $72 x^{2} \sin^{5}{\left (4 x^{3} - 2 \right )} \cos{\left (4 x^{3} - 2 \right )}$

---

Ответ:

$72 x^{2} \sin^{5}{\left (4 x^{3} - 2 \right )} \cos{\left (4 x^{3} - 2 \right )}$

Первая производная

    2    5/   3    \    /   3    \
72*x *sin \4*x  - 2/*cos\4*x  - 2/

$$72 x^{2} \sin^{5}{\left (4 x^{3} - 2 \right )} \cos{\left (4 x^{3} - 2 \right )}$$

Вторая производная

         4/  /        3\\ /   /  /        3\\    /  /        3\\      3    2/  /        3\\       3    2/  /        3\\\
144*x*sin \2*\-1 + 2*x //*\cos\2*\-1 + 2*x //*sin\2*\-1 + 2*x // - 6*x *sin \2*\-1 + 2*x // + 30*x *cos \2*\-1 + 2*x ///

$$144 x \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} + 30 x^{3} \cos^{2}{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} + \sin{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} \cos{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )}\right) \sin^{4}{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )}$$

Третья производная

       3/  /        3\\ /   2/  /        3\\    /  /        3\\       3    3/  /        3\\         6    3/  /        3\\         6    2/  /        3\\    /  /        3\\        3    2/  /        3\\    /  /        3\\\
144*sin \2*\-1 + 2*x //*\sin \2*\-1 + 2*x //*cos\2*\-1 + 2*x // - 36*x *sin \2*\-1 + 2*x // + 1440*x *cos \2*\-1 + 2*x // - 1152*x *sin \2*\-1 + 2*x //*cos\2*\-1 + 2*x // + 180*x *cos \2*\-1 + 2*x //*sin\2*\-1 + 2*x ///

$$144 \left(- 1152 x^{6} \sin^{2}{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} \cos{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} + 1440 x^{6} \cos^{3}{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} - 36 x^{3} \sin^{3}{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} + 180 x^{3} \sin{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} \cos^{2}{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} + \sin^{2}{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )} \cos{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )}\right) \sin^{3}{\left (2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right )}$$