Производная sin(x)*(3*x^9-1)

       /   9    \
sin(x)*\3*x  - 1/

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = 3 x^{9} - 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $3 x^{9} - 1$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{9}$ получим $9 x^{8}$

         Таким образом, в результате: $27 x^{8}$

      2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      В результате: $27 x^{8}$

   В результате: $27 x^{8} \sin{\left (x \right )} + \left(3 x^{9} - 1\right) \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $27 x^{8} \sin{\left (x \right )} + \left(3 x^{9} - 1\right) \cos{\left (x \right )}$

Ответ:

$27 x^{8} \sin{\left (x \right )} + \left(3 x^{9} - 1\right) \cos{\left (x \right )}$

/   9    \              8       
\3*x  - 1/*cos(x) + 27*x *sin(x)

  /        9\              8               7       
- \-1 + 3*x /*sin(x) + 54*x *cos(x) + 216*x *sin(x)

  /        9\              8               7                6       
- \-1 + 3*x /*cos(x) - 81*x *sin(x) + 648*x *cos(x) + 1512*x *sin(x)