Производная a*b*x*cos(x*b)

Вы ввели

a*b*x*cos(x*b)

$$x a b \cos{\left (b x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x a b$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $a b$

   $g{\left (x \right )} = \cos{\left (b x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = b x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(b x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $b$

      В результате последовательности правил:

      $- b \sin{\left (b x \right )}$

   В результате: $- a b^{2} x \sin{\left (b x \right )} + a b \cos{\left (b x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $a b \left(- b x \sin{\left (b x \right )} + \cos{\left (b x \right )}\right)$

---

Ответ:

$a b \left(- b x \sin{\left (b x \right )} + \cos{\left (b x \right )}\right)$

Первая производная

                    2         
a*b*cos(x*b) - a*x*b *sin(x*b)

$$- a b^{2} x \sin{\left (b x \right )} + a b \cos{\left (b x \right )}$$

Вторая производная

    2                            
-a*b *(2*sin(b*x) + b*x*cos(b*x))

$$- a b^{2} \left(b x \cos{\left (b x \right )} + 2 \sin{\left (b x \right )}\right)$$

Третья производная

   3                             
a*b *(-3*cos(b*x) + b*x*sin(b*x))

$$a b^{3} \left(b x \sin{\left (b x \right )} - 3 \cos{\left (b x \right )}\right)$$