2cos^2x-cosx=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2cos^2x-cosx=0

Вы ввели

     2                
2*cos (x) - cos(x) = 0

$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
преобразуем
$$\left(2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -1$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (2) * (0) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = 0$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     3 

$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$

     pi
x2 = --
     2 

$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

     3*pi
x3 = ----
      2  

$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$

     5*pi
x4 = ----
      3  

$$x_{4} = \frac{5 \pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   3*pi   5*pi
0 + -- + -- + ---- + ----
    3    2     2      3  

$$\frac{5 \pi}{3} + \left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{3 \pi}{2}\right)$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

  pi pi 3*pi 5*pi
1*--*--*----*----
  3  2   2    3  

$$\frac{5 \pi}{3} \frac{3 \pi}{2} \frac{\pi}{2} \cdot 1 \frac{\pi}{3}$$

=

    4
5*pi 
-----
  12 

$$\frac{5 \pi^{4}}{12}$$

Численный ответ

x1 = 39.2699081698724

x2 = 54.9778714378214

x3 = 63.8790506229925

x4 = 89.5353906273091

x5 = 70.162235930172

x6 = -26.7035375555132

x7 = -76.9690200129499

x8 = 48.6946861306418

x9 = -1.0471975511966

x10 = 80.1106126665397

x11 = 83.2522053201295

x12 = 10.9955742875643

x13 = -13.6135681655558

x14 = -89.5353906273091

x15 = -58.1194640914112

x16 = 92.6769832808989

x17 = 36.1283155162826

x18 = 4.71238898038469

x19 = 38.7463093942741

x20 = 30.3687289847013

x21 = 55.5014702134197

x22 = 26.7035375555132

x23 = -51.8362787842316

x24 = -1.5707963267949

x25 = -63.8790506229925

x26 = 76.9690200129499

x27 = -45.0294947014537

x28 = 74.3510261349584

x29 = -17.8023583703422

x30 = -19830.78002701

x31 = -5.23598775598299

x32 = -45.553093477052

x33 = 32.9867228626928

x34 = -54.9778714378214

x35 = -64.4026493985908

x36 = -68.0678408277789

x37 = -73.8274273593601

x38 = 24.0855436775217

x39 = -14.1371669411541

x40 = 11.5191730631626

x41 = 58.1194640914112

x42 = -48.6946861306418

x43 = 17.2787595947439

x44 = 82.7286065445312

x45 = -76.4454212373516

x46 = 17.8023583703422

x47 = -312.588469032184

x48 = 68.0678408277789

x49 = 51.8362787842316

x50 = -70.162235930172

x51 = -49.2182849062401

x52 = -83.2522053201295

x53 = 98.9601685880785

x54 = -7.85398163397448

x55 = 32.4631240870945

x56 = 80.634211442138

x57 = -11.5191730631626

x58 = 7.85398163397448

x59 = -92.6769832808989

x60 = -61.7846555205993

x61 = 99.4837673636768

x62 = -29.845130209103

x63 = 45.553093477052

x64 = -164.410015537866

x65 = 76.4454212373516

x66 = -55.5014702134197

x67 = -26.1799387799149

x68 = -42.4115008234622

x69 = 95.8185759344887

x70 = 67.5442420521806

x71 = -24.0855436775217

x72 = 1.5707963267949

x73 = -20.4203522483337

x74 = 61.261056745001

x75 = 86.3937979737193

x76 = -10.9955742875643

x77 = 14.1371669411541

x78 = 61.7846555205993

x79 = -80.1106126665397

x80 = 19.8967534727354

x81 = 42.4115008234622

x82 = -99.4837673636768

x83 = -19.8967534727354

x84 = -86.3937979737193

x85 = -39.2699081698724

x86 = -95.8185759344887

x87 = -36.6519142918809

x88 = -32.4631240870945

x89 = -98.9601685880785

x90 = -32.9867228626928

x91 = -4.71238898038469

x92 = 26.1799387799149

x93 = -93.2005820564972

x94 = -36.1283155162826

График