32x^5+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 32x^5+1=0

Вы ввели

    5        
32*x  + 1 = 0

$$32 x^{5} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$32 x^{5} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{32} \sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{-1}$$
или
$$2 x = \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

2*x = -1^1/5

Разделим обе части ур-ния на 2

x = (-1)^(1/5) / (2)

Получим ответ: x = (-1)^(1/5)/2

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = - \frac{1}{32}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = - \frac{1}{32}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$z_{2} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$z_{4} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{1}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$x_{4} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{1}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}$$

Быстрый ответ

x1 = -1/2

$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

                   /       ___________              ___________\
                   |      /       ___              /       ___ |
                   |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |
           ___     |    /   - - -----    \/ 5 *  /   - - ----- |
     1   \/ 5      |  \/    8     8            \/    8     8   |
x2 = - - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------|
     8     8       \         4                     4           /

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)$$

           /       ___________        ___________              ___________              ___________\        ___________      ___________
           |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |       /       ___      /       ___ 
           |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
           |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |     /   - - ----- *  /   - + ----- 
     1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |   \/    8     8    \/    8     8   
x3 = - + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| + ---------------------------------
     8     \         8                  8                     8                        8           /                   2                

$$x_{3} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}\right)$$

           /       ___________        ___________              ___________              ___________\        ___________      ___________
           |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |       /       ___      /       ___ 
           |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
           |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |     /   - - ----- *  /   - + ----- 
     1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |   \/    8     8    \/    8     8   
x4 = - + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - ---------------------------------
     8     \         8                  8                     8                        8           /                   2                

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}\right)$$

                        ___________
                       /       ___ 
                      /  5   \/ 5  
           ___   I*  /   - - ----- 
     1   \/ 5      \/    8     8   
x5 = - + ----- + ------------------
     8     8             2         

$$x_{5} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    /       ___________              ___________\         /       ___________        ___________              ___________              ___________\        ___________      ___________         /       ___________        ___________              ___________              ___________\        ___________      ___________                      ___________
                    |      /       ___              /       ___ |         |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |       /       ___      /       ___          |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |       /       ___      /       ___                      /       ___ 
                    |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |         |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5           |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5                      /  5   \/ 5  
            ___     |    /   - - -----    \/ 5 *  /   - - ----- |         |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |     /   - - ----- *  /   - + -----          |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |     /   - - ----- *  /   - + -----          ___   I*  /   - - ----- 
  1   1   \/ 5      |  \/    8     8            \/    8     8   |   1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |   \/    8     8    \/    8     8      1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |   \/    8     8    \/    8     8      1   \/ 5      \/    8     8   
- - + - - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------| + - + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| + --------------------------------- + - + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - --------------------------------- + - + ----- + ------------------
  2   8     8       \         4                     4           /   8     \         8                  8                     8                        8           /                   2                   8     \         8                  8                     8                        8           /                   2                   8     8             2         

$$\left(\left(\left(- \frac{1}{2} + \left(- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$

=

  /       ___________              ___________\     /       ___________        ___________              ___________              ___________\     /       ___________        ___________              ___________              ___________\          ___________
  |      /       ___              /       ___ |     |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |     |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |         /       ___ 
  |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |     |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |     |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |        /  5   \/ 5  
  |    /   - - -----    \/ 5 *  /   - - ----- |     |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |     |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |   I*  /   - - ----- 
  |  \/    8     8            \/    8     8   |     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |     \/    8     8   
I*|- ---------------- - ----------------------| + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| + ------------------
  \         4                     4           /     \         8                  8                     8                        8           /     \         8                  8                     8                        8           /           2         

$$i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}\right) + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}\right)$$

произведение

 /              /       ___________              ___________\\                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
 |              |      /       ___              /       ___ ||                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
 |              |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  ||  /      /       ___________        ___________              ___________              ___________\        ___________      ___________\ /      /       ___________        ___________              ___________              ___________\        ___________      ___________\ /                   ___________\
 |      ___     |    /   - - -----    \/ 5 *  /   - - ----- ||  |      |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |       /       ___      /       ___ | |      |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |       /       ___      /       ___ | |                  /       ___ |
 |1   \/ 5      |  \/    8     8            \/    8     8   ||  |      |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  | |      |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  | |                 /  5   \/ 5  |
-|- - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------||  |      |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |     /   - - ----- *  /   - + ----- | |      |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |     /   - - ----- *  /   - + ----- | |      ___   I*  /   - - ----- |
 \8     8       \         4                     4           //  |1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |   \/    8     8    \/    8     8   | |1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |   \/    8     8    \/    8     8   | |1   \/ 5      \/    8     8   |
---------------------------------------------------------------*|- + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| + ---------------------------------|*|- + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - ---------------------------------|*|- + ----- + ------------------|
                               2                                \8     \         8                  8                     8                        8           /                   2                / \8     \         8                  8                     8                        8           /                   2                / \8     8             2         /

$$\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}\right)\right) \left(- \frac{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}\right)\right) \left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$

=

/               _______________\ /                  ____________                 \ /                /   ______________      _______________      _______________      ______________\\ /                /   _______________      ______________      ______________      _______________\\
|      ___     /           ___ | |         ___     /        ___  /  ___     ____\| |        ___     |  /          ___      /           ___      /           ___      /          ___ || |        ___     |  /           ___      /          ___      /          ___      /           ___ ||
\1 + \/ 5  + \/  -10 + 2*\/ 5  /*\-2 + 2*\/ 5  + \/  -5 + \/ 5  *\\/ 2  + \/ 10 //*\4 - 4*\/ 5  + I*\\/  10 + 2*\/ 5   + \/  50 - 10*\/ 5   + \/  50 + 10*\/ 5   - \/  10 - 2*\/ 5  //*\4 + 4*\/ 5  + I*\\/  50 - 10*\/ 5   - \/  10 - 2*\/ 5   - \/  10 + 2*\/ 5   - \/  50 + 10*\/ 5  //
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                          262144                                                                                                                                          

$$\frac{\left(-2 + 2 \sqrt{5} + \sqrt{-5 + \sqrt{5}} \left(\sqrt{2} + \sqrt{10}\right)\right) \left(1 + \sqrt{5} + \sqrt{-10 + 2 \sqrt{5}}\right) \left(4 + 4 \sqrt{5} + i \left(- \sqrt{10 \sqrt{5} + 50} - \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}\right)\right) \left(- 4 \sqrt{5} + 4 + i \left(- \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{2 \sqrt{5} + 10} + \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}} + \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}\right)\right)}{262144}$$

Численный ответ

x1 = -0.154508497187474 - 0.475528258147577*i

x2 = -0.154508497187474 + 0.475528258147577*i

x3 = 0.404508497187474 + 0.293892626146237*i

x4 = -0.5

x5 = 0.404508497187474 - 0.293892626146237*i

График