4cos^2x+4sinx-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4cos^2x+4sinx-1=0

Вы ввели

     2                      
4*cos (x) + 4*sin(x) - 1 = 0

$$4 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
преобразуем
$$- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} - 1 + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 4$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (-4) * (3) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{3}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$

Быстрый ответ

     -5*pi
x1 = -----
       6  

$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$

     -pi 
x2 = ----
      6  

$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$

         /    /        ___\\         /    /        ___\\
         |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||
x3 = 2*re|atan|- - -------|| + 2*I*im|atan|- - -------||
         \    \3      3   //         \    \3      3   //

$$x_{3} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\         /    /        ___\\
         |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||
x4 = 2*re|atan|- + -------|| + 2*I*im|atan|- + -------||
         \    \3      3   //         \    \3      3   //

$$x_{4} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    /    /        ___\\         /    /        ___\\       /    /        ___\\         /    /        ___\\
    5*pi   pi       |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||       |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||
0 - ---- - -- + 2*re|atan|- - -------|| + 2*I*im|atan|- - -------|| + 2*re|atan|- + -------|| + 2*I*im|atan|- + -------||
     6     6        \    \3      3   //         \    \3      3   //       \    \3      3   //         \    \3      3   //

$$\left(\left(\left(- \frac{5 \pi}{6} + 0\right) - \frac{\pi}{6}\right) + \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right)\right) + \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right)$$

=

          /    /        ___\\       /    /        ___\\         /    /        ___\\         /    /        ___\\
          |    |2   I*\/ 5 ||       |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||
-pi + 2*re|atan|- - -------|| + 2*re|atan|- + -------|| + 2*I*im|atan|- - -------|| + 2*I*im|atan|- + -------||
          \    \3      3   //       \    \3      3   //         \    \3      3   //         \    \3      3   //

$$- \pi + 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}$$

произведение

             /    /    /        ___\\         /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\         /    /        ___\\\
  -5*pi -pi  |    |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||| |    |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 |||
1*-----*----*|2*re|atan|- - -------|| + 2*I*im|atan|- - -------|||*|2*re|atan|- + -------|| + 2*I*im|atan|- + -------|||
    6    6   \    \    \3      3   //         \    \3      3   /// \    \    \3      3   //         \    \3      3   ///

$$- \frac{\pi}{6} \cdot 1 \left(- \frac{5 \pi}{6}\right) \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right)$$

=

      /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\
    2 |    |    |2   I*\/ 5 ||     |    |2   I*\/ 5 ||| |    |    |2   I*\/ 5 ||     |    |2   I*\/ 5 |||
5*pi *|I*im|atan|- - -------|| + re|atan|- - -------|||*|I*im|atan|- + -------|| + re|atan|- + -------|||
      \    \    \3      3   //     \    \3      3   /// \    \    \3      3   //     \    \3      3   ///
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                    9                                                    

$$\frac{5 \pi^{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right)}{9}$$

Численный ответ

x1 = 35.081117965086

x2 = -88.4881930761125

x3 = -94.7713783832921

x4 = 53.9306738866248

x5 = 85.3466004225227

x6 = -6.80678408277789

x7 = 43.4586983746588

x8 = -103.148958792865

x9 = -50.789081233035

x10 = -71.733032256967

x11 = 97.9129710368819

x12 = 30.8923277602996

x13 = 62.3082542961976

x14 = -40.317105721069

x15 = -69.6386371545737

x16 = 91.6297857297023

x17 = -38.2227106186758

x18 = -31.9395253114962

x19 = 87.4409955249159

x20 = 100.007366139275

x21 = 18.3259571459405

x22 = -57.0722665402146

x23 = -13.0899693899575

x24 = 3.66519142918809

x25 = -0.523598775598299

x26 = 66.497044500984

x27 = -2.61799387799149

x28 = -63.3554518473942

x29 = -90.5825881785057

x30 = 12.0427718387609

x31 = 24.60914245312

x32 = 49.7418836818384

x33 = -19.3731546971371

x34 = 79.0634151153431

x35 = -59.1666616426078

x36 = 9.94837673636768

x37 = -25.6563400043166

x38 = -21.4675497995303

x39 = -46.6002910282486

x40 = 22.5147473507269

x41 = 68.5914396033772

x42 = 16.2315620435473

x43 = -15.1843644923507

x44 = -78.0162175641465

x45 = -65.4498469497874

x46 = 74.8746249105567

x47 = 28.7979326579064

x48 = 60.2138591938044

x49 = -82.2050077689329

x50 = 93.7241808320955

x51 = 81.1578102177363

x52 = 56.025068989018

x53 = 5.75958653158129

x54 = 37.1755130674792

x55 = 47.6474885794452

x56 = -27.7507351067098

x57 = -84.2994028713261

x58 = 72.7802298081635

x59 = -34.0339204138894

x60 = -75.9218224617533

x61 = 41.3643032722656

x62 = -44.5058959258554

График