4sin^2x-cosx-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4sin^2x-cosx-1=0

Вы ввели

     2                    
4*sin (x) - cos(x) - 1 = 0

$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
преобразуем
$$- 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$- 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 1 + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = -1$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (-4) * (3) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = -1$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{3}{4}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \pi$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$

Быстрый ответ

            /  ___\
            |\/ 7 |
x1 = -2*atan|-----|
            \  7  /

$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$

           /  ___\
           |\/ 7 |
x2 = 2*atan|-----|
           \  7  /

$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          /  ___\         /  ___\
          |\/ 7 |         |\/ 7 |
0 - 2*atan|-----| + 2*atan|-----|
          \  7  /         \  7  /

$$\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + 0\right) + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$

=

0

$$0$$

произведение

         /  ___\       /  ___\
         |\/ 7 |       |\/ 7 |
1*-2*atan|-----|*2*atan|-----|
         \  7  /       \  7  /

$$1 \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}\right) 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$

=

        /  ___\
       2|\/ 7 |
-4*atan |-----|
        \  7  /

$$- 4 \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 9.42477820059084

x2 = -57.2714020124297

x3 = 38.4218460908909

x4 = -63.5545873196093

x5 = 62.1091188239824

x6 = -34.5575189514044

x7 = -84.8230014495052

x8 = 72.2566310277192

x9 = 19.5722901693522

x10 = 63.5545873196093

x11 = -65.9734457650307

x12 = -11.8436363665458

x13 = 91.1061867806386

x14 = 44.7050313980705

x15 = 88.6873285483276

x16 = 82.404143241148

x17 = -76.1209579339685

x18 = -59.6902604576166

x19 = -28.2743337180597

x20 = -38.4218460908909

x21 = 11.8436363665458

x22 = 30.6931922880845

x23 = -9.42477812517175

x24 = 21.991148585195

x25 = -18.1268216737253

x26 = -53.4070752818889

x27 = -55.8259335168029

x28 = 69.8377726267889

x29 = 53.4070753521544

x30 = -72.2566308753792

x31 = -3.14159288700735

x32 = 5.56045105936617

x33 = -19.5722901693522

x34 = -40.8407046117345

x35 = 55.8259335168029

x36 = 68.392304131162

x37 = 93.5250453598804

x38 = 18.1268216737253

x39 = -93.5250453598804

x40 = -25.8554754765318

x41 = 59.6902605957645

x42 = 65.9734457528853

x43 = -15.7079632965158

x44 = -43.2595629024437

x45 = 3.14159251528809

x46 = 32.1386607837113

x47 = -69.8377726267889

x48 = -74.6754894383416

x49 = -32.1386607837113

x50 = -21.991148586453

x51 = -5.56045105936617

x52 = -49.5427482096233

x53 = 78.5398161889521

x54 = -84.8230017338055

x55 = 34.5575190317769

x56 = -13.2891048621726

x57 = -68.392304131162

x58 = 74.6754894383416

x59 = 91.1061870898554

x60 = 47.123889959411

x61 = 49.5427482096233

x62 = 25.8554754765318

x63 = -82.404143241148

x64 = -24.4100069809049

x65 = -78.5398161038083

x66 = 47.1238896463223

x67 = 3.14159282566338

x68 = -44.7050313980705

x69 = -99.80823066706

x70 = 0.722734247813416

x71 = 40.8407042648995

x72 = 99.80823066706

x73 = -97.3893724383685

x74 = 97.3893725032602

x75 = 76.1209579339685

x76 = -62.1091188239824

x77 = -40.8407043107961

x78 = -94.9705138555072

x79 = -84.823001248558

x80 = 15.7079634417105

x81 = 84.8230014172587

x82 = 13.2891048621726

x83 = 28.2743338652043

x84 = -47.1238900384288

x85 = 15.7079634389874

x86 = 24.4100069809049

x87 = -91.1061871893266

График