6sin^2x-5cosx+5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 6sin^2x-5cosx+5=0

Вы ввели

     2                      
6*sin (x) - 5*cos(x) + 5 = 0

$$6 \sin^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)} + 5 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$6 \sin^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)} + 5 = 0$$
преобразуем
$$- 6 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)} + 11 = 0$$
$$- 6 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)} + 11 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -6$$
$$b = -5$$
$$c = 11$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (-6) * (11) = 289

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{11}{6}$$
Упростить
$$w_{2} = 1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{11}{6} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{11}{6} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{11}{6} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{11}{6} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

         /     /  ____\\         /     /  ____\\
         |     |\/ 85 ||         |     |\/ 85 ||
x2 = 2*im|atanh|------|| - 2*I*re|atanh|------||
         \     \  5   //         \     \  5   //

$$x_{2} = 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)}$$

           /     /  ____\\         /     /  ____\\
           |     |\/ 85 ||         |     |\/ 85 ||
x3 = - 2*im|atanh|------|| + 2*I*re|atanh|------||
           \     \  5   //         \     \  5   //

$$x_{3} = - 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            /     /  ____\\         /     /  ____\\         /     /  ____\\         /     /  ____\\
            |     |\/ 85 ||         |     |\/ 85 ||         |     |\/ 85 ||         |     |\/ 85 ||
0 + 0 + 2*im|atanh|------|| - 2*I*re|atanh|------|| + - 2*im|atanh|------|| + 2*I*re|atanh|------||
            \     \  5   //         \     \  5   //         \     \  5   //         \     \  5   //

$$\left(\left(0 + 0\right) + \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)}\right)\right) - \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /    /     /  ____\\         /     /  ____\\\ /      /     /  ____\\         /     /  ____\\\
    |    |     |\/ 85 ||         |     |\/ 85 ||| |      |     |\/ 85 ||         |     |\/ 85 |||
1*0*|2*im|atanh|------|| - 2*I*re|atanh|------|||*|- 2*im|atanh|------|| + 2*I*re|atanh|------|||
    \    \     \  5   //         \     \  5   /// \      \     \  5   //         \     \  5   ///

$$1 \cdot 0 \cdot \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{85}}{5} \right)}\right)}\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 6.28318515181728

x2 = 18.8495556624016

x3 = -100.530964657731

x4 = 37.6991120228316

x5 = -50.265482238373

x6 = 87.9645943358015

x7 = -6.28318513478986

x8 = -43.9822971745671

x9 = 87.9645942804503

x10 = -12.5663707490955

x11 = 75.3982235101863

x12 = -69.1150386460525

x13 = -69.1150381727275

x14 = 18.8495560953767

x15 = 56.5486676067142

x16 = 37.6991119785297

x17 = -81.6814090380721

x18 = -2.03158030474896e-7

x19 = 75.3982239597916

x20 = 50.2654824463449

x21 = -75.3982238657618

x22 = -50.2654822926193

x23 = -25.1327414919493

x24 = 12.5663704490563

x25 = 69.1150380896123

x26 = -56.5486678742226

x27 = 0.0

x28 = -6.28318511192773

x29 = 31.4159263791795

x30 = -25.1327412078898

x31 = 6.28318528423854

x32 = 31.4159268057697

x33 = -37.6991118771846

x34 = 62.831853225995

x35 = 43.9822971694382

x36 = 81.68140918025

x37 = -31.4159267084361

x38 = -43.9822971889006

x39 = -87.9645943587265

x40 = -12.5663703484955

x41 = -18.8495562083981

x42 = -62.8318527752719

x43 = -94.2477794506635

x44 = 94.2477796093524

x45 = -62.8318533565984

x46 = -270.176968409677

x47 = 62.8318528169919

x48 = 25.1327409403515

x49 = 100.530964764537

x50 = 69.1150386721235

x51 = -25.1327410376336

x52 = -18.8495556256908

x53 = 25.1327415234503

x54 = -56.5486675029977

График