6sin^2x+5cosx-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 6sin^2x+5cosx-2=0

Вы ввели

     2                      
6*sin (x) + 5*cos(x) - 2 = 0

$$6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$
преобразуем
$$- 6 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} + 4 = 0$$
$$- 6 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} - 2 + 6 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -6$$
$$b = 5$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (-6) * (4) = 121

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{4}{3}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{4}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{4}{3} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{4}{3} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{4}{3} \right)}$$

Быстрый ответ

     -2*pi
x1 = -----
       3  

$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$

     2*pi
x2 = ----
      3  

$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$

               /  ___\
               |\/ 7 |
x3 = -2*I*atanh|-----|
               \  7  /

$$x_{3} = - 2 i \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$

              /  ___\
              |\/ 7 |
x4 = 2*I*atanh|-----|
              \  7  /

$$x_{4} = 2 i \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                           /  ___\            /  ___\
    2*pi   2*pi            |\/ 7 |            |\/ 7 |
0 - ---- + ---- - 2*I*atanh|-----| + 2*I*atanh|-----|
     3      3              \  7  /            \  7  /

$$\left(\left(\left(- \frac{2 \pi}{3} + 0\right) + \frac{2 \pi}{3}\right) - 2 i \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}\right) + 2 i \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$

=

0

$$0$$

произведение

                       /  ___\          /  ___\
  -2*pi 2*pi           |\/ 7 |          |\/ 7 |
1*-----*----*-2*I*atanh|-----|*2*I*atanh|-----|
    3    3             \  7  /          \  7  /

$$2 i \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} - 2 i \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} \frac{2 \pi}{3} \cdot 1 \left(- \frac{2 \pi}{3}\right)$$

=

              /  ___\
      2      2|\/ 7 |
-16*pi *atanh |-----|
              \  7  /
---------------------
          9          

$$- \frac{16 \pi^{2} \operatorname{atanh}^{2}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}}{9}$$

Численный ответ

x1 = -20.943951023932

x2 = 39.7935069454707

x3 = 8.37758040957278

x4 = 64.9262481741891

x5 = 83.7758040957278

x6 = -29.3215314335047

x7 = -73.3038285837618

x8 = -46.0766922526503

x9 = -33.5103216382911

x10 = -54.4542726622231

x11 = 67.0206432765823

x12 = -79.5870138909414

x13 = 60.7374579694027

x14 = 391.651884147528

x15 = -41.8879020478639

x16 = 52.3598775598299

x17 = -16.7551608191456

x18 = -83.7758040957278

x19 = -27.2271363311115

x20 = 35.6047167406843

x21 = -96.342174710087

x22 = -52.3598775598299

x23 = 16.7551608191456

x24 = 96.342174710087

x25 = 14.6607657167524

x26 = 54.4542726622231

x27 = 41.8879020478639

x28 = 98.4365698124802

x29 = 27.2271363311115

x30 = 77.4926187885482

x31 = -92.1533845053006

x32 = -2.0943951023932

x33 = 10.471975511966

x34 = -4.18879020478639

x35 = 92.1533845053006

x36 = -35.6047167406843

x37 = -10.471975511966

x38 = -39.7935069454707

x39 = -77.4926187885482

x40 = -8.37758040957278

x41 = 79.5870138909414

x42 = 85.870199198121

x43 = 58.6430628670095

x44 = -71.2094334813686

x45 = -90.0589894029074

x46 = -58.6430628670095

x47 = 4.18879020478639

x48 = 48.1710873550435

x49 = 90.0589894029074

x50 = 2.0943951023932

x51 = 33.5103216382911

x52 = -617.846555205993

x53 = 46.0766922526503

x54 = -64.9262481741891

x55 = -85.870199198121

x56 = -98.4365698124802

x57 = -48.1710873550435

x58 = -783.303768295055

График