√(7x-5)-√(3x-2)=√(4x-3) (уравнение)

Найду корень уравнения: √(7x-5)-√(3x-2)=√(4x-3)

Вы ввели

  _________     _________     _________
\/ 7*x - 5  - \/ 3*x - 2  = \/ 4*x - 3 

$$- \sqrt{3 x - 2} + \sqrt{7 x - 5} = \sqrt{4 x - 3}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$- \sqrt{3 x - 2} + \sqrt{7 x - 5} = \sqrt{4 x - 3}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{3 x - 2} + \sqrt{7 x - 5}\right)^{2} = 4 x - 3$$
или
$$1^{2} \cdot \left(7 x - 5\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(4 x - 3\right) \left(7 x - 5\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(4 x - 3\right)\right) = 4 x - 3$$
или
$$11 x - 2 \sqrt{28 x^{2} - 41 x + 15} - 8 = 4 x - 3$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{28 x^{2} - 41 x + 15} = 5 - 7 x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$112 x^{2} - 164 x + 60 = \left(5 - 7 x\right)^{2}$$
$$112 x^{2} - 164 x + 60 = 49 x^{2} - 70 x + 25$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$63 x^{2} - 94 x + 35 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 63$$
$$b = -94$$
$$c = 35$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-94)^2 - 4 * (63) * (35) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{7}{9}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{5}{7}$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{28 x^{2} - 41 x + 15} = \frac{7 x}{2} - \frac{5}{2}$$
и
$$\sqrt{28 x^{2} - 41 x + 15} \geq 0$$
то
$$\frac{7 x}{2} - \frac{5}{2} \geq 0$$
или
$$\frac{5}{7} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = \frac{7}{9}$$
$$x_{2} = \frac{5}{7}$$
проверяем:
$$x_{1} = \frac{7}{9}$$
$$- \sqrt{3 x_{1} - 2} - \sqrt{4 x_{1} - 3} + \sqrt{7 x_{1} - 5} = 0$$
=
$$- \sqrt{\left(-1\right) 3 + 4 \cdot \frac{7}{9}} - \left(- \sqrt{\left(-1\right) 5 + 7 \cdot \frac{7}{9}} + \sqrt{\left(-1\right) 2 + 3 \cdot \frac{7}{9}}\right) = 0$$
=

sqrt(49/9 - 1*5) - sqrt(7/3 - 1*2) - sqrt(28/9 - 1*3) = 0

- Нет
$$x_{2} = \frac{5}{7}$$
$$- \sqrt{3 x_{2} - 2} - \sqrt{4 x_{2} - 3} + \sqrt{7 x_{2} - 5} = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{\left(-1\right) 2 + 3 \cdot \frac{5}{7}} + \sqrt{\left(-1\right) 5 + 7 \cdot \frac{5}{7}}\right) - \sqrt{\left(-1\right) 3 + 4 \cdot \frac{5}{7}} = 0$$
=

sqrt(5 - 1*5) - sqrt(15/7 - 1*2) - sqrt(20/7 - 1*3) = 0

- Нет
Тогда, окончательный ответ:
Данное ур-ние не имеет решений

Быстрый ответ

x1 = 2/3

$$x_{1} = \frac{2}{3}$$

x2 = 3/4

$$x_{2} = \frac{3}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + 2/3 + 3/4

$$\left(0 + \frac{2}{3}\right) + \frac{3}{4}$$

=

17
--
12

$$\frac{17}{12}$$

произведение

1*2/3*3/4

$$1 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$$

=

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Численный ответ

x1 = 0.666666666666667

x2 = 0.75

График