9^x-4*3^x-45=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 9^x-4*3^x-45=0

Вы ввели

 x      x         
9  - 4*3  - 45 = 0

$$- 4 \cdot 3^{x} + 9^{x} - 45 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- 4 \cdot 3^{x} + 9^{x} - 45 = 0$$
или
$$\left(- 4 \cdot 3^{x} + 9^{x} - 45\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} - 4 v - 45 = 0$$
или
$$v^{2} - 4 v - 45 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -45$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (-45) = 196

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 9$$
Упростить
$$v_{2} = -5$$
Упростить
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(9 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = 2$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-5 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = \frac{\log{\left(5 \right)} + i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

     log(5)    pi*I 
x2 = ------ + ------
     log(3)   log(3)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        log(5)    pi*I 
0 + 2 + ------ + ------
        log(3)   log(3)

$$\left(0 + 2\right) + \left(\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$

=

    log(5)    pi*I 
2 + ------ + ------
    log(3)   log(3)

$$\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 2 + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$

произведение

    /log(5)    pi*I \
1*2*|------ + ------|
    \log(3)   log(3)/

$$1 \cdot 2 \left(\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$

=

2*(pi*I + log(5))
-----------------
      log(3)     

$$\frac{2 \left(\log{\left(5 \right)} + i \pi\right)}{\log{\left(3 \right)}}$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = 1.46497352071793 + 2.85960086738013*i