2cos^2x+3cosx-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2cos^2x+3cosx-2=0

Вы ввели

     2                      
2*cos (x) + 3*cos(x) - 2 = 0

$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$
преобразуем
$$3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 2\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 3$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (2) * (-2) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = -2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   5*pi                                                                        
0 + -- + ---- + -re(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(-2)) + I*im(acos(-2)) + re(acos(-2))
    3     3                                                                          

$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) - \left(- 4 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right)$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

  pi 5*pi                                                                        
1*--*----*(-re(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(-2)))*(I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)))
  3   3                                                                          

$$\frac{5 \pi}{3} \cdot 1 \frac{\pi}{3} \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right)$$

=

     2                                                                        
-5*pi *(I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)))*(-2*pi + I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)))
------------------------------------------------------------------------------
                                      9                                       

$$- \frac{5 \pi^{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right)}{9}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     3 

$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$

     5*pi
x2 = ----
      3  

$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$

x3 = -re(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(-2))

$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}$$

x4 = I*im(acos(-2)) + re(acos(-2))

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}$$

Численный ответ

x1 = -63.8790506229925

x2 = 57.5958653158129

x3 = -382.227106186758

x4 = 63.8790506229925

x5 = -114.144533080429

x6 = 74.3510261349584

x7 = 51.3126800086333

x8 = -45.0294947014537

x9 = -17.8023583703422

x10 = -935.147413218562

x11 = -5.23598775598299

x12 = -24.0855436775217

x13 = 21313.6117595044

x14 = -95.2949771588904

x15 = 105.766952670856

x16 = -89.0117918517108

x17 = 70.162235930172

x18 = -30.3687289847013

x19 = 32.4631240870945

x20 = 5.23598775598299

x21 = -38.7463093942741

x22 = 61.7846555205993

x23 = -68.0678408277789

x24 = 80.634211442138

x25 = 24.0855436775217

x26 = 19.8967534727354

x27 = -11.5191730631626

x28 = 11.5191730631626

x29 = 86.9173967493176

x30 = -61.7846555205993

x31 = 99.4837673636768

x32 = -51.3126800086333

x33 = 82.7286065445312

x34 = -1.0471975511966

x35 = -76.4454212373516

x36 = -7.33038285837618

x37 = 17.8023583703422

x38 = 89.0117918517108

x39 = -13.6135681655558

x40 = 68.0678408277789

x41 = -99.4837673636768

x42 = -80.634211442138

x43 = -19.8967534727354

x44 = 36.6519142918809

x45 = 7.33038285837618

x46 = 76.4454212373516

x47 = -55.5014702134197

x48 = -36.6519142918809

x49 = 1691.22404518251

x50 = -57.5958653158129

x51 = -32.4631240870945

x52 = -82.7286065445312

x53 = 38.7463093942741

x54 = 30.3687289847013

x55 = 55.5014702134197

x56 = 26.1799387799149

x57 = -93.2005820564972

x58 = -70.162235930172

x59 = -74.3510261349584

x60 = 42.9350995990605

x61 = 95.2949771588904

x62 = 218.864288200089

x63 = 13.6135681655558

x64 = -49.2182849062401

x65 = -26.1799387799149

График