2^(2x+1)+7*2^х=4 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2^(2x+1)+7*2^х=4

Вы ввели

 2*x + 1      x    
2        + 7*2  = 4

$$7 \cdot 2^{x} + 2^{2 x + 1} = 4$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$7 \cdot 2^{x} + 2^{2 x + 1} = 4$$
или
$$\left(7 \cdot 2^{x} + 2^{2 x + 1}\right) - 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$2 v^{2} + 7 v - 4 = 0$$
или
$$2 v^{2} + 7 v - 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 7$$
$$c = -4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(7)^2 - 4 * (2) * (-4) = 81

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = -4$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = -1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(4 \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

     log(4)    pi*I 
x2 = ------ + ------
     log(2)   log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        log(4)    pi*I 
0 - 1 + ------ + ------
        log(2)   log(2)

$$\left(-1 + 0\right) + \left(\frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

     log(4)    pi*I 
-1 + ------ + ------
     log(2)   log(2)

$$-1 + \frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

     /log(4)    pi*I \
1*-1*|------ + ------|
     \log(2)   log(2)/

$$1 \left(-1\right) \left(\frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

-log(4) - pi*I
--------------
    log(2)    

$$\frac{- \log{\left(4 \right)} - i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Численный ответ

x1 = -1.0

x2 = -0.999999999999997

График