2х^2-4х-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2х^2-4х-1=0

Вы ввели

   2              
2*x  - 4*x - 1 = 0

$$2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -4$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (2) * (-1) = 24

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

           ___
         \/ 6 
x1 = 1 - -----
           2  

$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$$

           ___
         \/ 6 
x2 = 1 + -----
           2  

$$x_{2} = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ___         ___
        \/ 6        \/ 6 
0 + 1 - ----- + 1 + -----
          2           2  

$$\left(\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{2}\right) + 0\right) + \left(1 + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$

=

2

$$2$$

произведение

  /      ___\ /      ___\
  |    \/ 6 | |    \/ 6 |
1*|1 - -----|*|1 + -----|
  \      2  / \      2  /

$$1 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{2}\right) \left(1 + \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$

=

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - 2 x - \frac{1}{2} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -2$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{1}{2}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 2$$
$$x_{1} x_{2} = - \frac{1}{2}$$

Численный ответ

x1 = -0.224744871391589

x2 = 2.22474487139159

График