2x^3-3x^2+5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2x^3-3x^2+5=0

Вы ввели

   3      2        
2*x  - 3*x  + 5 = 0

$$2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 = 0$$
преобразуем
$$\left(- 3 x^{2} + \left(2 x^{3} + 2\right)\right) + 3 = 0$$
или
$$\left(- 3 x^{2} + \left(2 x^{3} - 2 \left(-1\right)^{3}\right)\right) + 3 \left(-1\right)^{2} = 0$$
$$- 3 \left(x^{2} - \left(-1\right)^{2}\right) + 2 \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right) = 0$$
$$\left(x - 1\right) \left(- 3 \left(x + 1\right)\right) + 2 \left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 1 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 1\right) \left(- 3 \left(x - 1\right) + 2 \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) = 0$$
или
$$\left(x + 1\right) \left(2 x^{2} - 5 x + 5\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -1$$
и также
получаем ур-ние
$$2 x^{2} - 5 x + 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -5$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (2) * (5) = -15

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
Упростить
$$x_{3} = \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (2*x^3 - 3*x^2 + 5) + 0 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

             ____
     5   I*\/ 15 
x2 = - - --------
     4      4    

$$x_{2} = \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}$$

             ____
     5   I*\/ 15 
x3 = - + --------
     4      4    

$$x_{3} = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                ____           ____
        5   I*\/ 15    5   I*\/ 15 
0 - 1 + - - -------- + - + --------
        4      4       4      4    

$$\left(\left(-1 + 0\right) + \left(\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}\right)\right) + \left(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}\right)$$

=

3/2

$$\frac{3}{2}$$

произведение

     /        ____\ /        ____\
     |5   I*\/ 15 | |5   I*\/ 15 |
1*-1*|- - --------|*|- + --------|
     \4      4    / \4      4    /

$$1 \left(-1\right) \left(\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}\right) \left(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}\right)$$

=

-5/2

$$- \frac{5}{2}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{5}{2} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{3}{2}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{5}{2}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{3}{2}$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{5}{2}$$

Численный ответ

x1 = 1.25 - 0.968245836551854*i

x2 = -1.0

x3 = 1.25 + 0.968245836551854*i

График