25^x-3*5^x-10=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 25^x-3*5^x-10=0

Вы ввели

  x      x         
25  - 3*5  - 10 = 0

$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10 = 0$$
или
$$\left(25^{x} - 3 \cdot 5^{x} - 10\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v^{2} - 3 v - 10 = 0$$
или
$$v^{2} - 3 v - 10 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -10$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-10) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 5$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = \frac{\log{\left(2 \right)} + i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

     log(2)    pi*I 
x2 = ------ + ------
     log(5)   log(5)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        log(2)    pi*I 
0 + 1 + ------ + ------
        log(5)   log(5)

$$\left(0 + 1\right) + \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$

=

    log(2)    pi*I 
1 + ------ + ------
    log(5)   log(5)

$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + 1 + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

произведение

    /log(2)    pi*I \
1*1*|------ + ------|
    \log(5)   log(5)/

$$1 \cdot 1 \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$

=

pi*I + log(2)
-------------
    log(5)   

$$\frac{\log{\left(2 \right)} + i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

Численный ответ

x1 = 1.0

x2 = 0.430676558073393 + 1.95198126583117*i

График