cos^2(x)+2sin(x)+2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos^2(x)+2sin(x)+2=0

Вы ввели

   2                      
cos (x) + 2*sin(x) + 2 = 0

$$2 \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 = 0$$
преобразуем
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 2$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (-1) * (3) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = -1$$
Упростить
$$w_{2} = 3$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      2  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$

         /    /          ___\\         /    /          ___\\
         |    |1   2*I*\/ 2 ||         |    |1   2*I*\/ 2 ||
x2 = 2*re|atan|- - ---------|| + 2*I*im|atan|- - ---------||
         \    \3       3    //         \    \3       3    //

$$x_{2} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}$$

         /    /          ___\\         /    /          ___\\
         |    |1   2*I*\/ 2 ||         |    |1   2*I*\/ 2 ||
x3 = 2*re|atan|- + ---------|| + 2*I*im|atan|- + ---------||
         \    \3       3    //         \    \3       3    //

$$x_{3} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             /    /          ___\\         /    /          ___\\       /    /          ___\\         /    /          ___\\
    pi       |    |1   2*I*\/ 2 ||         |    |1   2*I*\/ 2 ||       |    |1   2*I*\/ 2 ||         |    |1   2*I*\/ 2 ||
0 - -- + 2*re|atan|- - ---------|| + 2*I*im|atan|- - ---------|| + 2*re|atan|- + ---------|| + 2*I*im|atan|- + ---------||
    2        \    \3       3    //         \    \3       3    //       \    \3       3    //         \    \3       3    //

$$\left(\left(- \frac{\pi}{2} + 0\right) + \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}\right)\right) + \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}\right)$$

=

    /    /          ___\\       /    /          ___\\              /    /          ___\\         /    /          ___\\
    |    |1   2*I*\/ 2 ||       |    |1   2*I*\/ 2 ||   pi         |    |1   2*I*\/ 2 ||         |    |1   2*I*\/ 2 ||
2*re|atan|- - ---------|| + 2*re|atan|- + ---------|| - -- + 2*I*im|atan|- - ---------|| + 2*I*im|atan|- + ---------||
    \    \3       3    //       \    \3       3    //   2          \    \3       3    //         \    \3       3    //

$$- \frac{\pi}{2} + 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}$$

произведение

       /    /    /          ___\\         /    /          ___\\\ /    /    /          ___\\         /    /          ___\\\
  -pi  |    |    |1   2*I*\/ 2 ||         |    |1   2*I*\/ 2 ||| |    |    |1   2*I*\/ 2 ||         |    |1   2*I*\/ 2 |||
1*----*|2*re|atan|- - ---------|| + 2*I*im|atan|- - ---------|||*|2*re|atan|- + ---------|| + 2*I*im|atan|- + ---------|||
   2   \    \    \3       3    //         \    \3       3    /// \    \    \3       3    //         \    \3       3    ///

$$1 \left(- \frac{\pi}{2}\right) \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}\right)$$

=

      /    /    /          ___\\     /    /          ___\\\ /    /    /          ___\\     /    /          ___\\\
      |    |    |1   2*I*\/ 2 ||     |    |1   2*I*\/ 2 ||| |    |    |1   2*I*\/ 2 ||     |    |1   2*I*\/ 2 |||
-2*pi*|I*im|atan|- - ---------|| + re|atan|- - ---------|||*|I*im|atan|- + ---------|| + re|atan|- + ---------|||
      \    \    \3       3    //     \    \3       3    /// \    \    \3       3    //     \    \3       3    ///

$$- 2 \pi \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}\right)$$

Численный ответ

x1 = -1.57079653638307

x2 = 67.5442418055755

x3 = -45.5530935897427

x4 = 98.9601682894894

x5 = -139.800873467486

x6 = 4.71238886235498

x7 = 42.4115009058131

x8 = -70.6858350312864

x9 = -14.1371665766936

x10 = 4.71238923181769

x11 = -83.2522055577573

x12 = 73.827427591263

x13 = 10.9955746230205

x14 = 61.261057062553

x15 = -20.4203520186622

x16 = -45.5530936309972

x17 = -83.2522051037983

x18 = -58.119463652249

x19 = -76.9690203256113

x20 = -20.4203524688757

x21 = 98.9601689206173

x22 = 92.6769830689412

x23 = 23.5619451379884

x24 = 117.809725233756

x25 = 17.2787599090696

x26 = -64.4026496039382

x27 = 17.2787592660486

x28 = -26.703537882833

x29 = -1.57079643080582

x30 = 73.8274274813446

x31 = -14.1371668381663

x32 = -32.9867231721691

x33 = 42.4115005526819

x34 = -39.2699076412407

x35 = -64.4026491754768

x36 = -7.85398149759801

x37 = 61.2610564153358

x38 = -164.933614398177

x39 = 29.845130504401

x40 = -26.7035372446302

x41 = -133.517687838813

x42 = 29.8451303217623

x43 = 10.9955739814993

x44 = 54.9778711353875

x45 = 92.6769835070253

x46 = 48.6946863700612

x47 = 48.6946859120413

x48 = -108.38494727522

x49 = 23.5619446676752

x50 = -39.2699084013107

x51 = -14.1371668194089

x52 = -95.8185758680893

x53 = 882955.610865625

x54 = 36.1283157033748

x55 = 4.71238875528975

x56 = -76.9690196760468

x57 = 67.5442422944741

x58 = 42.4115007283113

x59 = 212.057503588662

x60 = -70.6858343985417

x61 = -39.2699079075865

x62 = -89.5353907308516

x63 = -89.5353907485116

x64 = 86.3937978876249

x65 = -83.2522050480464

x66 = 86.3937976360352

x67 = -51.8362786895378

x68 = 54.9778717720118

x69 = -58.1194639985047

x70 = -32.9867225263379

x71 = 80.1106131400977

График