|x^2+x-3|=|5x-4| (уравнение)

Найду корень уравнения: |x^2+x-3|=|5x-4|

Вы ввели

| 2        |            
|x  + x - 3| = |5*x - 4|

$$\left|{x^{2} + x - 3}\right| = \left|{5 x - 4}\right|$$

Подробное решение

Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$5 x - 4 \geq 0$$
$$x^{2} + x - 3 \geq 0$$
или
$$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- (5 x - 4) + \left(x^{2} + x - 3\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} - 4 x + 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
но x1 не удовлетворяет неравенству
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$

2.
$$5 x - 4 \geq 0$$
$$x^{2} + x - 3 < 0$$
или
$$\frac{4}{5} \leq x \wedge x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
получаем ур-ние
$$- (5 x - 4) - \left(x^{2} + x - 3\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} - 6 x + 7 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -7$$
но x3 не удовлетворяет неравенству
$$x_{4} = 1$$

3.
$$5 x - 4 < 0$$
$$x^{2} + x - 3 \geq 0$$
или
$$x \leq - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \wedge -\infty < x$$
получаем ур-ние
$$- (4 - 5 x) + \left(x^{2} + x - 3\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} + 6 x - 7 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{5} = -7$$
$$x_{6} = 1$$
но x6 не удовлетворяет неравенству

4.
$$5 x - 4 < 0$$
$$x^{2} + x - 3 < 0$$
или
$$x < \frac{4}{5} \wedge - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} < x$$
получаем ур-ние
$$- (4 - 5 x) - \left(x^{2} + x - 3\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} + 4 x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{7} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{8} = \sqrt{3} + 2$$
но x8 не удовлетворяет неравенству


Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt{3} + 2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -7$$
$$x_{4} = 2 - \sqrt{3}$$

Быстрый ответ

x1 = -7

$$x_{1} = -7$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

           ___
x3 = 2 - \/ 3 

$$x_{3} = 2 - \sqrt{3}$$

           ___
x4 = 2 + \/ 3 

$$x_{4} = \sqrt{3} + 2$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___         ___
0 - 7 + 1 + 2 - \/ 3  + 2 + \/ 3 

$$\left(\left(\left(-7 + 0\right) + 1\right) + \left(2 - \sqrt{3}\right)\right) + \left(\sqrt{3} + 2\right)$$

=

-2

$$-2$$

произведение

       /      ___\ /      ___\
1*-7*1*\2 - \/ 3 /*\2 + \/ 3 /

$$1 \left(-7\right) 1 \cdot \left(2 - \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{3} + 2\right)$$

=

-7

$$-7$$

Численный ответ

x1 = -7.0

x2 = 3.73205080756888

x3 = 0.267949192431123

График