10cos^2x+3cosx=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: 10cos^2x+3cosx=1

Вы ввели

      2                  
10*cos (x) + 3*cos(x) = 1

$$10 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$10 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 1$$
преобразуем
$$10 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(10 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 10$$
$$b = 3$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (10) * (-1) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{5}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$

Быстрый ответ

     2*pi
x1 = ----
      3  

$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$

     4*pi
x2 = ----
      3  

$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$

x3 = -acos(1/5) + 2*pi

$$x_{3} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$

x4 = acos(1/5)

$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    2*pi   4*pi                                
0 + ---- + ---- + -acos(1/5) + 2*pi + acos(1/5)
     3      3                                  

$$\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \left(\left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 2 \pi\right) + \left(\left(0 + \frac{2 \pi}{3}\right) + \frac{4 \pi}{3}\right)\right)$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

  2*pi 4*pi                              
1*----*----*(-acos(1/5) + 2*pi)*acos(1/5)
   3    3                                

$$\frac{4 \pi}{3} \cdot 1 \cdot \frac{2 \pi}{3} \left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 2 \pi\right) \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$

=

    2                              
8*pi *(-acos(1/5) + 2*pi)*acos(1/5)
-----------------------------------
                 9                 

$$\frac{8 \pi^{2} \left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 2 \pi\right) \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}}{9}$$

Численный ответ

x1 = -74.0287852801505

x2 = -76.7676620921596

x3 = 83.0508473993392

x4 = -39.0685502490821

x5 = 13.9358090203637

x6 = -13.9358090203637

x7 = -51.6349208634413

x8 = 83.7758040957278

x9 = 33.5103216382911

x10 = -48.8960440514321

x11 = 99.1615265088688

x12 = -61.4624146657913

x13 = -104.71975511966

x14 = -23.7633028227138

x15 = -33.5103216382911

x16 = -85.870199198121

x17 = 48.1710873550435

x18 = -11.1969322083546

x19 = -90.0589894029074

x20 = 39.7935069454707

x21 = -7.65262371318415

x22 = 23.7633028227138

x23 = -64.2012914778004

x24 = -71.2094334813686

x25 = -30.0464881298934

x26 = 11.1969322083546

x27 = 10.471975511966

x28 = 2.0943951023932

x29 = 77.4926187885482

x30 = -17.4801175155342

x31 = 36.329673437073

x32 = -79.5870138909414

x33 = 174.559750195024

x34 = 54.4542726622231

x35 = 80.3119705873301

x36 = -48.1710873550435

x37 = 397.210112758319

x38 = 74.0287852801505

x39 = 42.6128587442525

x40 = 98.4365698124802

x41 = -57.9181061706208

x42 = -92.1533845053006

x43 = 30.0464881298934

x44 = 67.7455999729709

x45 = -4.18879020478639

x46 = -92.8783412016892

x47 = -98.4365698124802

x48 = -39.7935069454707

x49 = -27.2271363311115

x50 = -10.471975511966

x51 = 16.7551608191456

x52 = 90.0589894029074

x53 = -35.6047167406843

x54 = 96.342174710087

x55 = 8.37758040957278

x56 = 76.7676620921596

x57 = 61.4624146657913

x58 = 17.4801175155342

x59 = 64.2012914778004

x60 = 85.870199198121

x61 = 39.0685502490821

x62 = 60.7374579694027

x63 = -41.8879020478639

x64 = 41.8879020478639

x65 = 20.2189943275433

x66 = 45.3517355562617

x67 = 70.48447678498

x68 = -54.4542726622231

x69 = -46.0766922526503

x70 = 57.9181061706208

x71 = 52.3598775598299

x72 = -67.7455999729709

x73 = -77.4926187885482

x74 = -95.6172180136984

x75 = -2.0943951023932

x76 = -26.5021796347229

x77 = 4.18879020478639

x78 = 55.1792293586117

x79 = 4.91374690117502

x80 = 26.5021796347229

x81 = -55.1792293586117

x82 = -70.48447678498

x83 = -4.91374690117502

x84 = 7.65262371318415

x85 = -99.1615265088688

x86 = -86.5951558945096

x87 = 92.1533845053006

x88 = 46.0766922526503

x89 = -32.7853649419025

x90 = -20.2189943275433

x91 = -83.7758040957278

x92 = 32.7853649419025

График