6*cos^2(x)+13*sin(x)-8=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 6*cos^2(x)+13*sin(x)-8=0

Вы ввели

     2                       
6*cos (x) + 13*sin(x) - 8 = 0

$$13 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(x \right)} - 8 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$13 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(x \right)} - 8 = 0$$
преобразуем
$$- 6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 13 \sin{\left(x \right)} - 2 = 0$$
$$- 6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 13 \sin{\left(x \right)} - 8 + 6 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -6$$
$$b = 13$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(13)^2 - 4 * (-6) * (-2) = 121

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{6}$$
Упростить
$$w_{2} = 2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{6} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{6} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{6} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{6} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$

Быстрый ответ

         /    /        ___\\         /    /        ___\\
         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
x1 = 2*re|atan|- - -------|| + 2*I*im|atan|- - -------||
         \    \2      2   //         \    \2      2   //

$$x_{1} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\         /    /        ___\\
         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
x2 = 2*re|atan|- + -------|| + 2*I*im|atan|- + -------||
         \    \2      2   //         \    \2      2   //

$$x_{2} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

           /      ____\
x3 = 2*atan\6 - \/ 35 /

$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(6 - \sqrt{35} \right)}$$

           /      ____\
x4 = 2*atan\6 + \/ 35 /

$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} + 6 \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        /    /        ___\\         /    /        ___\\       /    /        ___\\         /    /        ___\\                                          
        |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||         /      ____\         /      ____\
0 + 2*re|atan|- - -------|| + 2*I*im|atan|- - -------|| + 2*re|atan|- + -------|| + 2*I*im|atan|- + -------|| + 2*atan\6 - \/ 35 / + 2*atan\6 + \/ 35 /
        \    \2      2   //         \    \2      2   //       \    \2      2   //         \    \2      2   //                                          

$$2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} + 6 \right)} + \left(2 \operatorname{atan}{\left(6 - \sqrt{35} \right)} + \left(\left(0 + \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)\right) + \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)\right)\right)$$

=

                                              /    /        ___\\       /    /        ___\\         /    /        ___\\         /    /        ___\\
      /      ____\         /      ____\       |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
2*atan\6 + \/ 35 / + 2*atan\6 - \/ 35 / + 2*re|atan|- + -------|| + 2*re|atan|- - -------|| + 2*I*im|atan|- + -------|| + 2*I*im|atan|- - -------||
                                              \    \2      2   //       \    \2      2   //         \    \2      2   //         \    \2      2   //

$$2 \operatorname{atan}{\left(6 - \sqrt{35} \right)} + 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} + 6 \right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

произведение

  /    /    /        ___\\         /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\         /    /        ___\\\                                      
  |    |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||| |    |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 |||       /      ____\       /      ____\
1*|2*re|atan|- - -------|| + 2*I*im|atan|- - -------|||*|2*re|atan|- + -------|| + 2*I*im|atan|- + -------|||*2*atan\6 - \/ 35 /*2*atan\6 + \/ 35 /
  \    \    \2      2   //         \    \2      2   /// \    \    \2      2   //         \    \2      2   ///                                      

$$1 \cdot \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) 2 \operatorname{atan}{\left(6 - \sqrt{35} \right)} 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} + 6 \right)}$$

=

   /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\                                  
   |    |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||| |    |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 |||     /      ____\     /      ____\
16*|I*im|atan|- + -------|| + re|atan|- + -------|||*|I*im|atan|- - -------|| + re|atan|- - -------|||*atan\6 + \/ 35 /*atan\6 - \/ 35 /
   \    \    \2      2   //     \    \2      2   /// \    \    \2      2   //     \    \2      2   ///                                  

$$16 \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \operatorname{atan}{\left(6 - \sqrt{35} \right)} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{35} + 6 \right)}$$

Численный ответ

x1 = 15.5405151887293

x2 = 100.698412994093

x3 = 65.805997646166

x4 = -43743.3686605051

x5 = 56.716115843836

x6 = 62.9993011510156

x7 = -94.0803315284741

x8 = -72.4240791117849

x9 = -43.8148490710374

x10 = 44.1497452294768

x11 = -345.407743815658

x12 = 0.167448079219689

x13 = -56.3812196853966

x14 = -81.5139609141149

x15 = -91.2736350333237

x16 = -110.123190954862

x17 = -62.6644049925762

x18 = 50.4329305366564

x19 = 59.5228123389864

x20 = 40.6732564174476

x21 = -15.8754113471687

x22 = 19.0170040007584

x23 = -75.2307756069354

x24 = -97.5568203405033

x25 = 53.2396270318068

x26 = 25.300189307938

x27 = -47.2913378830666

x28 = -41.008152575887

x29 = -53.5745231902462

x30 = -34.7249672687074

x31 = 37.8665599222972

x32 = 9.25732988154969

x33 = -28.4417819615278

x34 = -18.6821078423191

x35 = 31.5833746151176

x36 = -12.3989225351395

x37 = 84.6555535677047

x38 = -22.1585966543482

x39 = 75.5656717653747

x40 = 97.2219241820639

x41 = 153.77059194668

x42 = 46.9564417246272

x43 = -84.9904497261441

x44 = -87.7971462212945

x45 = 138.397524837171

x46 = 78.3723682605251

x47 = 28.1068858030884

x48 = -37.5316637638578

x49 = -100.363516835654

x50 = 69.2824864581951

x51 = 88.1320423797339

x52 = 119.547968915632

x53 = -24.9652931494987

x54 = -78.7072644189645

x55 = -50.098034378217

x56 = 72.0891829533456

x57 = 21.8237004959089

x58 = 81.8488570725543

x59 = 34.390071110268

x60 = -182.044925828988

x61 = 90.9387388748843

x62 = -3.30904073280948

x63 = -59.8577084974258

x64 = -31.2484784566782

x65 = 6.45063338639928

x66 = -66.1408938046053

x67 = 94.4152276869135

x68 = -68.9475902997558

x69 = 2.9741445743701

x70 = -6.1157372279599

x71 = -9.59222603998907

x72 = 12.7338186935789

График