sin^2a-cos^2a (уравнение)

Найду корень уравнения: sin^2a-cos^2a

Вы ввели

   2         2       
sin (a) - cos (a) = 0

$$\sin^{2}{\left(a \right)} - \cos^{2}{\left(a \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(a \right)} - \cos^{2}{\left(a \right)} = 0$$
преобразуем
$$- \cos{\left(2 a \right)} = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left(a \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(a \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (2) * (-1) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(a \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(a \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$a = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$a = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$a = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$a = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$a_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$a_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$a_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$a_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$a_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$a_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$a_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$a_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
$$a_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$a_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$a_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
$$a_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi
0 - -- + --
    4    4 

$$\left(- \frac{\pi}{4} + 0\right) + \frac{\pi}{4}$$

=

0

$$0$$

произведение

  -pi  pi
1*----*--
   4   4 

$$\frac{\pi}{4} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{4}\right)$$

=

   2 
-pi  
-----
  16 

$$- \frac{\pi^{2}}{16}$$

Быстрый ответ

     -pi 
a1 = ----
      4  

$$a_{1} = - \frac{\pi}{4}$$

     pi
a2 = --
     4 

$$a_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Численный ответ

a1 = 384.059701901352

a2 = 68.329640215578

a3 = -41.6261026600648

a4 = 3.92699081698724

a5 = 16.4933614313464

a6 = 30.6305283725005

a7 = 11.7809724509617

a8 = -40.0553063332699

a9 = 8.63937979737193

a10 = 88.7499924639117

a11 = -35.3429173528852

a12 = 10.2101761241668

a13 = 27.4889357189107

a14 = -5.49778714378214

a15 = 32.2013246992954

a16 = -27.4889357189107

a17 = 24.3473430653209

a18 = 44.7676953136546

a19 = -38.484510006475

a20 = -62.0464549083984

a21 = -68.329640215578

a22 = 46.3384916404494

a23 = 66.7588438887831

a24 = 19.6349540849362

a25 = -69.9004365423729

a26 = -55.7632696012188

a27 = 84.037603483527

a28 = 54.1924732744239

a29 = 90.3207887907066

a30 = -79.3252145031423

a31 = 22.776546738526

a32 = 60.4756585816035

a33 = -24.3473430653209

a34 = 5.49778714378214

a35 = -63.6172512351933

a36 = 47.9092879672443

a37 = 52.621676947629

a38 = 98.174770424681

a39 = -90.3207887907066

a40 = 87.1791961371168

a41 = -47.9092879672443

a42 = 49.4800842940392

a43 = -91.8915851175014

a44 = -10.2101761241668

a45 = -54.1924732744239

a46 = 2.35619449019234

a47 = -33.7721210260903

a48 = -18.0641577581413

a49 = -60.4756585816035

a50 = 76.1836218495525

a51 = 77.7544181763474

a52 = -99.7455667514759

a53 = -77.7544181763474

a54 = 162.577419823272

a55 = -93.4623814442964

a56 = -57.3340659280137

a57 = -85.6083998103219

a58 = -3.92699081698724

a59 = -19.6349540849362

a60 = -16.4933614313464

a61 = -32.2013246992954

a62 = 91.8915851175014

a63 = 69.9004365423729

a64 = 38.484510006475

a65 = -82.4668071567321

a66 = -98.174770424681

a67 = 41.6261026600648

a68 = 55.7632696012188

a69 = -11.7809724509617

a70 = 62.0464549083984

a71 = 82.4668071567321

a72 = -25.9181393921158

a73 = -71.4712328691678

a74 = 18.0641577581413

a75 = 99.7455667514759

a76 = -2.35619449019234

a77 = 63.6172512351933

a78 = -76.1836218495525

a79 = -46.3384916404494

a80 = 6876.16092054466

a81 = 85.6083998103219

a82 = 25.9181393921158

a83 = -84.037603483527

a84 = 33.7721210260903

a85 = -49.4800842940392

a86 = 40.0553063332699

a87 = 96.6039740978861

a88 = -13.3517687777566

a89 = 74.6128255227576

График