Решение уравнений/ Любые/ sin^2(x)=t

sin^2(x)=t (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: sin^2(x)=t

    Решение

    Вы ввели [src]
       2       
sin (x) = t
    $$\sin^{2}{\left(x \right)} = t$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$\sin^{2}{\left(x \right)} = t$$
    преобразуем
    $$- t + \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
    $$- t + \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left(x \right)}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 0$$
    $$c = - t$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (1) * (-t) = 4*t

    Уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = \sqrt{t}$$
    $$w_{2} = - \sqrt{t}$$
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left(x \right)} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left(x \right)} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \sqrt{t} \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \sqrt{t} \right)} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)} + \pi$$
    График
    Быстрый ответ [src]
                /    /  ___\\       /    /  ___\\
x1 = pi - re\asin\\/ t // - I*im\asin\\/ t //
    $$x_{1} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}\right)} + \pi$$
                  /    /  ___\\     /    /  ___\\
x2 = pi + I*im\asin\\/ t // + re\asin\\/ t //
    $$x_{2} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}\right)} + \pi$$
             /    /  ___\\       /    /  ___\\
x3 = - re\asin\\/ t // - I*im\asin\\/ t //
    $$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}\right)}$$
             /    /  ___\\     /    /  ___\\
x4 = I*im\asin\\/ t // + re\asin\\/ t //
    $$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{t} \right)}\right)}$$