sinx+4^x-1=sinx+2^(x+1)+7 (уравнение)

Найду корень уравнения: sinx+4^x-1=sinx+2^(x+1)+7

Вы ввели

          x                 x + 1    
sin(x) + 4  - 1 = sin(x) + 2      + 7

$$4^{x} + \sin{\left(x \right)} - 1 = 2^{x + 1} + \sin{\left(x \right)} + 7$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$4^{x} + \sin{\left(x \right)} - 1 = 2^{x + 1} + \sin{\left(x \right)} + 7$$
или
$$\left(- 2^{x + 1} - \sin{\left(x \right)} - 7\right) + \left(4^{x} + \sin{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} - 2 v - 8 = 0$$
или
$$v^{2} - 2 v - 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-8) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 4$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 2$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 1 + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

          pi*I 
x2 = 1 + ------
         log(2)

$$x_{2} = 1 + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             pi*I 
0 + 2 + 1 + ------
            log(2)

$$\left(0 + 2\right) + \left(1 + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

     pi*I 
3 + ------
    log(2)

$$3 + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

    /     pi*I \
1*2*|1 + ------|
    \    log(2)/

$$1 \cdot 2 \cdot \left(1 + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

    2*pi*I
2 + ------
    log(2)

$$2 + \frac{2 i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = 1.0 + 4.53236014182719*i

График