3x^4-8x^2-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x^4-8x^2-3=0

Вы ввели

   4      2        
3*x  - 8*x  - 3 = 0

$$3 x^{4} - 8 x^{2} - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$3 x^{4} - 8 x^{2} - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$3 v^{2} - 8 v - 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = -8$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (3) * (-3) = 100

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{1}{3}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) 3^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$

Быстрый ответ

        ___
x1 = -\/ 3 

$$x_{1} = - \sqrt{3}$$

       ___
x2 = \/ 3 

$$x_{2} = \sqrt{3}$$

          ___ 
     -I*\/ 3  
x3 = ---------
         3    

$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$

         ___
     I*\/ 3 
x4 = -------
        3   

$$x_{4} = \frac{\sqrt{3} i}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                        ___       ___
      ___     ___   I*\/ 3    I*\/ 3 
0 - \/ 3  + \/ 3  - ------- + -------
                       3         3   

$$\left(\left(\left(- \sqrt{3} + 0\right) + \sqrt{3}\right) - \frac{\sqrt{3} i}{3}\right) + \frac{\sqrt{3} i}{3}$$

=

0

$$0$$

произведение

                    ___      ___
     ___   ___ -I*\/ 3   I*\/ 3 
1*-\/ 3 *\/ 3 *---------*-------
                   3        3   

$$\frac{\sqrt{3} i}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \sqrt{3} \cdot 1 \left(- \sqrt{3}\right)$$

=

-1

$$-1$$

Численный ответ

x1 = -1.73205080756888

x2 = -0.577350269189626*i

x3 = 1.73205080756888

x4 = 0.577350269189626*i

График