y^6=-2 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^6=-2

Вы ввели

 6     
y  = -2

$$y^{6} = -2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{6} = -2$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -2 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -2$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{2} i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$y_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$
$$y_{2} = \sqrt[6]{2} i$$
$$y_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$y_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$y_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$y_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

        6 ___
y1 = -I*\/ 2 

$$y_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$

       6 ___
y2 = I*\/ 2 

$$y_{2} = \sqrt[6]{2} i$$

         6 ___   6 ___   ___
       I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 
y3 = - ------- - -----------
          2           2     

$$y_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

       6 ___   6 ___   ___
     I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 
y4 = ------- - -----------
        2           2     

$$y_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

     6 ___   ___     6 ___
     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 
y5 = ----------- - -------
          2           2   

$$y_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

       6 ___   6 ___   ___
     I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 
y6 = ------- + -----------
        2           2     

$$y_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                            6 ___   6 ___   ___     6 ___   6 ___   ___   6 ___   ___     6 ___     6 ___   6 ___   ___
      6 ___     6 ___     I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3    \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2    I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 
0 - I*\/ 2  + I*\/ 2  + - ------- - ----------- + ------- - ----------- + ----------- - ------- + ------- + -----------
                             2           2           2           2             2           2         2           2     

$$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) + \left(\left(0 - \sqrt[6]{2} i\right) + \sqrt[6]{2} i\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                   /    6 ___   6 ___   ___\ /  6 ___   6 ___   ___\ /6 ___   ___     6 ___\ /  6 ___   6 ___   ___\
     6 ___   6 ___ |  I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 | |I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 | |\/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 | |I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 |
1*-I*\/ 2 *I*\/ 2 *|- ------- - -----------|*|------- - -----------|*|----------- - -------|*|------- + -----------|
                   \     2           2     / \   2           2     / \     2           2   / \   2           2     /

$$\sqrt[6]{2} i 1 \left(- \sqrt[6]{2} i\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right)$$

=

2

$$2$$

Численный ответ

y1 = -0.972080648619833 - 0.561231024154687*i

y2 = -0.972080648619833 + 0.561231024154687*i

y3 = 0.972080648619833 + 0.561231024154687*i

y4 = 1.12246204830937*i

y5 = 0.972080648619833 - 0.561231024154687*i

y6 = -1.12246204830937*i

График