(x²-x+5)²=16 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x²-x+5)²=16

Вы ввели

            2     
/ 2        \      
\x  - x + 5/  = 16

$$\left(\left(x^{2} - x\right) + 5\right)^{2} = 16$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(\left(x^{2} - x\right) + 5\right)^{2} = 16$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x^{2} - x + 1\right) \left(x^{2} - x + 9\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x^{2} - x + 1 = 0$$
$$x^{2} - x + 9 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x^{2} - x + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (1) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
2.
$$x^{2} - x + 9 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 9$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (9) = -35

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}$$
Упростить
$$x_{4} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}$$

Быстрый ответ

             ___
     1   I*\/ 3 
x1 = - - -------
     2      2   

$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
x2 = - + -------
     2      2   

$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ____
     1   I*\/ 35 
x3 = - - --------
     2      2    

$$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}$$

             ____
     1   I*\/ 35 
x4 = - + --------
     2      2    

$$x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        ___           ___           ____           ____
1   I*\/ 3    1   I*\/ 3    1   I*\/ 35    1   I*\/ 35 
- - ------- + - + ------- + - - -------- + - + --------
2      2      2      2      2      2       2      2    

$$\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right) + \left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)$$

=

2

$$2$$

произведение

/        ___\ /        ___\ /        ____\ /        ____\
|1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 35 | |1   I*\/ 35 |
|- - -------|*|- + -------|*|- - --------|*|- + --------|
\2      2   / \2      2   / \2      2    / \2      2    /

$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)$$

=

9

$$9$$

Численный ответ

x1 = 0.5 - 2.95803989154981*i

x2 = 0.5 - 0.866025403784439*i

x3 = 0.5 + 2.95803989154981*i

x4 = 0.5 + 0.866025403784439*i

График