(x-4)^4=81 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-4)^4=81

Вы ввели

       4     
(x - 4)  = 81

$$\left(x - 4\right)^{4} = 81$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 4\right)^{4} = 81$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x - 4\right)^{4}} = 3$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x - 4\right)^{4}} = -3$$
или
$$x - 4 = 3$$
$$x - 4 = -3$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 7$$
Получим ответ: x = 7
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1
или
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 7$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 4$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 81$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3$$
$$z_{3} = - 3 i$$
$$z_{4} = 3 i$$
делаем обратную замену
$$z = x - 4$$
$$x = z + 4$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = 4 - 3 i$$
$$x_{4} = 4 + 3 i$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

x2 = 7

$$x_{2} = 7$$

x3 = 4 - 3*I

$$x_{3} = 4 - 3 i$$

x4 = 4 + 3*I

$$x_{4} = 4 + 3 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + 1 + 7 + 4 - 3*I + 4 + 3*I

$$\left(\left(\left(0 + 1\right) + 7\right) + \left(4 - 3 i\right)\right) + \left(4 + 3 i\right)$$

=

16

$$16$$

произведение

1*1*7*(4 - 3*I)*(4 + 3*I)

$$1 \cdot 1 \cdot 7 \cdot \left(4 - 3 i\right) \left(4 + 3 i\right)$$

=

175

$$175$$

Численный ответ

x1 = 1.0

x2 = 7.0

x3 = 4.0 - 3.0*i

x4 = 4.0 + 3.0*i

График