(x-5)^3=64 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (x-5)^3=64

    Решение

    Вы ввели [src]
           3     
    (x - 5)  = 64
    (x5)3=64\left(x - 5\right)^{3} = 64
    Подробное решение
    Дано уравнение
    (x5)3=64\left(x - 5\right)^{3} = 64
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    (1x5)33=643\sqrt[3]{\left(1 x - 5\right)^{3}} = \sqrt[3]{64}
    или
    x5=4x - 5 = 4
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    x=9x = 9
    Получим ответ: x = 9

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=x5z = x - 5
    тогда ур-ние будет таким:
    z3=64z^{3} = 64
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=64r^{3} e^{3 i p} = 64
    где
    r=4r = 4
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = 1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN3p = \frac{2 \pi N}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=4z_{1} = 4
    z2=223iz_{2} = -2 - 2 \sqrt{3} i
    z3=2+23iz_{3} = -2 + 2 \sqrt{3} i
    делаем обратную замену
    z=x5z = x - 5
    x=z+5x = z + 5

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=9x_{1} = 9
    x2=323ix_{2} = 3 - 2 \sqrt{3} i
    x3=3+23ix_{3} = 3 + 2 \sqrt{3} i
    График
    0.02.55.07.510.012.515.017.520.022.525.027.5-50005000
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                      ___             ___
    0 + 9 + 3 - 2*I*\/ 3  + 3 + 2*I*\/ 3 
    ((0+9)+(323i))+(3+23i)\left(\left(0 + 9\right) + \left(3 - 2 \sqrt{3} i\right)\right) + \left(3 + 2 \sqrt{3} i\right)
    =
    15
    1515
    произведение
        /          ___\ /          ___\
    1*9*\3 - 2*I*\/ 3 /*\3 + 2*I*\/ 3 /
    19(323i)(3+23i)1 \cdot 9 \cdot \left(3 - 2 \sqrt{3} i\right) \left(3 + 2 \sqrt{3} i\right)
    =
    189
    189189
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 9
    x1=9x_{1} = 9
                   ___
    x2 = 3 - 2*I*\/ 3 
    x2=323ix_{2} = 3 - 2 \sqrt{3} i
                   ___
    x3 = 3 + 2*I*\/ 3 
    x3=3+23ix_{3} = 3 + 2 \sqrt{3} i
    Численный ответ [src]
    x1 = 9.0
    x2 = 3.0 - 3.46410161513775*i
    x3 = 3.0 + 3.46410161513775*i
    График
    (x-5)^3=64 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/8/87/19189724443a0ed3f345bc0cb5d41.png