(х+4)⁴-6(х+4)²-7=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (х+4)⁴-6(х+4)²-7=0

Вы ввели

       4            2        
(x + 4)  - 6*(x + 4)  - 7 = 0

$$\left(x + 4\right)^{4} - 6 \left(x + 4\right)^{2} - 7 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x + 4\right)^{4} - 6 \left(x + 4\right)^{2} - 7 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(x + 4\right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 6 v - 7 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = -7$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6)^2 - 4 * (1) * (-7) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 7$$
Упростить
$$v_{2} = -1$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(x + 4\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} - 4$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}} - 4$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} - 4$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}} - 4$$
тогда:
$$x_{1} =$$
$$- \frac{4}{1} + \frac{1 \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{1} = -4 + \sqrt{7}$$
$$x_{2} =$$
$$- \frac{4}{1} + \frac{\left(-1\right) 7^{\frac{1}{2}}}{1} = -4 - \sqrt{7}$$
$$x_{3} =$$
$$- \frac{4}{1} + \frac{1 \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -4 + i$$
$$x_{4} =$$
$$- \frac{4}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -4 - i$$

Быстрый ответ

            ___
x1 = -4 - \/ 7 

$$x_{1} = -4 - \sqrt{7}$$

            ___
x2 = -4 + \/ 7 

$$x_{2} = -4 + \sqrt{7}$$

x3 = -4 - I

$$x_{3} = -4 - i$$

x4 = -4 + I

$$x_{4} = -4 + i$$

Сумма и произведение корней

сумма

           ___          ___                  
0 + -4 - \/ 7  + -4 + \/ 7  + -4 - I + -4 + I

$$\left(\left(\left(\left(-4 - \sqrt{7}\right) + 0\right) - \left(4 - \sqrt{7}\right)\right) - \left(4 + i\right)\right) - \left(4 - i\right)$$

=

-16

$$-16$$

произведение

  /       ___\ /       ___\                  
1*\-4 - \/ 7 /*\-4 + \/ 7 /*(-4 - I)*(-4 + I)

$$1 \left(-4 - \sqrt{7}\right) \left(-4 + \sqrt{7}\right) \left(-4 - i\right) \left(-4 + i\right)$$

=

153

$$153$$

Численный ответ

x1 = -4.0 + 1.0*i

x2 = -1.35424868893541

x3 = -4.0 - 1.0*i

x4 = -6.64575131106459

График