(x+1)^4+(x+1)^2-6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x+1)^4+(x+1)^2-6=0

Вы ввели

       4          2        
(x + 1)  + (x + 1)  - 6 = 0

$$\left(x + 1\right)^{4} + \left(x + 1\right)^{2} - 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x + 1\right)^{4} + \left(x + 1\right)^{2} - 6 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(x + 1\right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + v - 6 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -6$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-6) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 2$$
Упростить
$$v_{2} = -3$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(x + 1\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} - 1$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}} - 1$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} - 1$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}} - 1$$
тогда:
$$x_{1} = - 1^{-1} + \frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) 2^{\frac{1}{2}}}{1} - 1^{-1} = - \sqrt{2} - 1$$
$$x_{3} = - 1^{-1} + \frac{1 \left(-3\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -1 + \sqrt{3} i$$
$$x_{4} = - 1^{-1} + \frac{\left(-1\right) \left(-3\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -1 - \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

           ___          ___            ___            ___
0 + -1 + \/ 2  + -1 - \/ 2  + -1 - I*\/ 3  + -1 + I*\/ 3 

$$\left(\left(\left(- \sqrt{2} - 1\right) - \left(1 - \sqrt{2}\right)\right) - \left(1 + \sqrt{3} i\right)\right) - \left(1 - \sqrt{3} i\right)$$

=

-4

$$-4$$

произведение

  /       ___\ /       ___\ /         ___\ /         ___\
1*\-1 + \/ 2 /*\-1 - \/ 2 /*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /

$$1 \left(-1 + \sqrt{2}\right) \left(- \sqrt{2} - 1\right) \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

-4

$$-4$$

Быстрый ответ

            ___
x1 = -1 + \/ 2 

$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$

            ___
x2 = -1 - \/ 2 

$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$

              ___
x3 = -1 - I*\/ 3 

$$x_{3} = -1 - \sqrt{3} i$$

              ___
x4 = -1 + I*\/ 3 

$$x_{4} = -1 + \sqrt{3} i$$

Численный ответ

x1 = 0.414213562373095

x2 = -2.41421356237309

x3 = -1.0 + 1.73205080756888*i

x4 = -1.0 - 1.73205080756888*i

График