(x+5)^4+(x+5)^2-12=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x+5)^4+(x+5)^2-12=0

Вы ввели

       4          2         
(x + 5)  + (x + 5)  - 12 = 0

$$\left(x + 5\right)^{4} + \left(x + 5\right)^{2} - 12 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x + 5\right)^{4} + \left(x + 5\right)^{2} - 12 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(x + 5\right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + v - 12 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -12$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-12) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = -4$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(x + 5\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} - 5$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}} - 5$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} - 5$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}} - 5$$
тогда:
$$x_{1} = - \frac{5}{1} + \frac{1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{1} = -5 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{1} + \frac{\left(-1\right) 3^{\frac{1}{2}}}{1} = -5 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{1} + \frac{1 \left(-4\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -5 + 2 i$$
$$x_{4} = - \frac{5}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-4\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -5 - 2 i$$

Быстрый ответ

            ___
x1 = -5 - \/ 3 

$$x_{1} = -5 - \sqrt{3}$$

            ___
x2 = -5 + \/ 3 

$$x_{2} = -5 + \sqrt{3}$$

x3 = -5 - 2*I

$$x_{3} = -5 - 2 i$$

x4 = -5 + 2*I

$$x_{4} = -5 + 2 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

           ___          ___                      
0 + -5 - \/ 3  + -5 + \/ 3  + -5 - 2*I + -5 + 2*I

$$\left(\left(\left(\left(-5 - \sqrt{3}\right) + 0\right) - \left(5 - \sqrt{3}\right)\right) - \left(5 + 2 i\right)\right) - \left(5 - 2 i\right)$$

=

-20

$$-20$$

произведение

  /       ___\ /       ___\                      
1*\-5 - \/ 3 /*\-5 + \/ 3 /*(-5 - 2*I)*(-5 + 2*I)

$$1 \left(-5 - \sqrt{3}\right) \left(-5 + \sqrt{3}\right) \left(-5 - 2 i\right) \left(-5 + 2 i\right)$$

=

638

$$638$$

Численный ответ

x1 = -5.0 + 2.0*i

x2 = -6.73205080756888

x3 = -3.26794919243112

x4 = -5.0 - 2.0*i

График