х^4-49=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: х^4-49=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     4         
    x  - 49 = 0
    x449=0x^{4} - 49 = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x449=0x^{4} - 49 = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    x44=494\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{49}
    x44=(1)494\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{49}
    или
    x=7x = \sqrt{7}
    x=7x = - \sqrt{7}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = sqrt7

    Получим ответ: x = sqrt(7)
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -sqrt7

    Получим ответ: x = -sqrt(7)
    или
    x1=7x_{1} = - \sqrt{7}
    x2=7x_{2} = \sqrt{7}

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z4=49z^{4} = 49
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r4e4ip=49r^{4} e^{4 i p} = 49
    где
    r=7r = \sqrt{7}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e4ip=1e^{4 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(4p)+cos(4p)=1i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1
    значит
    cos(4p)=1\cos{\left(4 p \right)} = 1
    и
    sin(4p)=0\sin{\left(4 p \right)} = 0
    тогда
    p=πN2p = \frac{\pi N}{2}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=7z_{1} = - \sqrt{7}
    z2=7z_{2} = \sqrt{7}
    z3=7iz_{3} = - \sqrt{7} i
    z4=7iz_{4} = \sqrt{7} i
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=7x_{1} = - \sqrt{7}
    x2=7x_{2} = \sqrt{7}
    x3=7ix_{3} = - \sqrt{7} i
    x4=7ix_{4} = \sqrt{7} i
    Быстрый ответ [src]
            ___
    x1 = -\/ 7 
    x1=7x_{1} = - \sqrt{7}
           ___
    x2 = \/ 7 
    x2=7x_{2} = \sqrt{7}
              ___
    x3 = -I*\/ 7 
    x3=7ix_{3} = - \sqrt{7} i
             ___
    x4 = I*\/ 7 
    x4=7ix_{4} = \sqrt{7} i
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
        ___     ___       ___       ___
    - \/ 7  + \/ 7  - I*\/ 7  + I*\/ 7 
    ((7+7)7i)+7i\left(\left(- \sqrt{7} + \sqrt{7}\right) - \sqrt{7} i\right) + \sqrt{7} i
    =
    0
    00
    произведение
       ___   ___ /     ___\     ___
    -\/ 7 *\/ 7 *\-I*\/ 7 /*I*\/ 7 
    7i77(7i)\sqrt{7} i - \sqrt{7} \sqrt{7} \left(- \sqrt{7} i\right)
    =
    -49
    49-49
    Численный ответ [src]
    x1 = -2.64575131106459
    x2 = 2.64575131106459
    x3 = 2.64575131106459*i
    x4 = -2.64575131106459*i