x^4=(3*x-4)^2 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=(3*x-4)^2

Вы ввели

 4            2
x  = (3*x - 4) 

$$x^{4} = \left(3 x - 4\right)^{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} = \left(3 x - 4\right)^{2}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x - 1\right) \left(x + 4\right) \left(x^{2} - 3 x + 4\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 1 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
$$x^{2} - 3 x + 4 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1$$
Получим ответ: x1 = 1
2.
$$x + 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -4$$
Получим ответ: x2 = -4
3.
$$x^{2} - 3 x + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (4) = -7

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Упростить
$$x_{4} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -4

$$x_{1} = -4$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

             ___
     3   I*\/ 7 
x3 = - - -------
     2      2   

$$x_{3} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

             ___
     3   I*\/ 7 
x4 = - + -------
     2      2   

$$x_{4} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ___           ___
            3   I*\/ 7    3   I*\/ 7 
0 - 4 + 1 + - - ------- + - + -------
            2      2      2      2   

$$\left(\left(\left(-4 + 0\right) + 1\right) + \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /        ___\ /        ___\
       |3   I*\/ 7 | |3   I*\/ 7 |
1*-4*1*|- - -------|*|- + -------|
       \2      2   / \2      2   /

$$1 \left(-4\right) 1 \cdot \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)$$

=

-16

$$-16$$

Численный ответ

x1 = 1.5 - 1.3228756555323*i

x2 = 1.5 + 1.3228756555323*i

x3 = -4.0

x4 = 1.0

График