x^10-15=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^10-15=0

Вы ввели

 10         
x   - 15 = 0

$$x^{10} - 15 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{10} - 15 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 10 - содержит чётное число 10 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 10-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[10]{\left(1 x + 0\right)^{10}} = \sqrt[10]{15}$$
$$\sqrt[10]{\left(1 x + 0\right)^{10}} = - \sqrt[10]{15}$$
или
$$x = \sqrt[10]{15}$$
$$x = - \sqrt[10]{15}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 15^1/10

Получим ответ: x = 15^(1/10)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -15^1/10

Получим ответ: x = -15^(1/10)
или
$$x_{1} = - \sqrt[10]{15}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{15}$$

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{10} = 15$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{10} e^{10 i p} = 15$$
где
$$r = \sqrt[10]{15}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{10 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(10 p \right)} + \cos{\left(10 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(10 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(10 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[10]{15}$$
$$z_{2} = \sqrt[10]{15}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{9} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[10]{15}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{15}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{8} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{9} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

      10____
x1 = -\/ 15 

$$x_{1} = - \sqrt[10]{15}$$

     10____
x2 = \/ 15 

$$x_{2} = \sqrt[10]{15}$$

                                           ___________
       10____   10___  3/5                /       ___ 
       \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  
x3 = - ------ + ---------- - I*\/ 15 *  /   - + ----- 
         4          4                 \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                           ___________
       10____   10___  3/5                /       ___ 
       \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  
x4 = - ------ + ---------- + I*\/ 15 *  /   - + ----- 
         4          4                 \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                         ___________
     10____   10___  3/5                /       ___ 
     \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  
x5 = ------ + ---------- - I*\/ 15 *  /   - - ----- 
       4          4                 \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                         ___________
     10____   10___  3/5                /       ___ 
     \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  
x6 = ------ + ---------- + I*\/ 15 *  /   - - ----- 
       4          4                 \/    8     8   

$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                           ___________
       10____   10___  3/5                /       ___ 
       \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  
x7 = - ------ - ---------- - I*\/ 15 *  /   - - ----- 
         4          4                 \/    8     8   

$$x_{7} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                           ___________
       10____   10___  3/5                /       ___ 
       \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  
x8 = - ------ - ---------- + I*\/ 15 *  /   - - ----- 
         4          4                 \/    8     8   

$$x_{8} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                         ___________
     10____   10___  3/5                /       ___ 
     \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  
x9 = ------ - ---------- - I*\/ 15 *  /   - + ----- 
       4          4                 \/    8     8   

$$x_{9} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                          ___________
      10____   10___  3/5                /       ___ 
      \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  
x10 = ------ - ---------- + I*\/ 15 *  /   - + ----- 
        4          4                 \/    8     8   

$$x_{10} = - \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                            ___________                                         ___________                                       ___________                                       ___________                                         ___________                                         ___________                                       ___________                                       ___________
                        10____   10___  3/5                /       ___      10____   10___  3/5                /       ___    10____   10___  3/5                /       ___    10____   10___  3/5                /       ___      10____   10___  3/5                /       ___      10____   10___  3/5                /       ___    10____   10___  3/5                /       ___    10____   10___  3/5                /       ___ 
    10____   10____     \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5       \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5     \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5     \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5       \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5       \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5     \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5     \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  
0 - \/ 15  + \/ 15  + - ------ + ---------- - I*\/ 15 *  /   - + -----  + - ------ + ---------- + I*\/ 15 *  /   - + -----  + ------ + ---------- - I*\/ 15 *  /   - - -----  + ------ + ---------- + I*\/ 15 *  /   - - -----  + - ------ - ---------- - I*\/ 15 *  /   - - -----  + - ------ - ---------- + I*\/ 15 *  /   - - -----  + ------ - ---------- - I*\/ 15 *  /   - + -----  + ------ - ---------- + I*\/ 15 *  /   - + ----- 
                          4          4                 \/    8     8          4          4                 \/    8     8        4          4                 \/    8     8        4          4                 \/    8     8          4          4                 \/    8     8          4          4                 \/    8     8        4          4                 \/    8     8        4          4                 \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) - \left(- \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{\sqrt[10]{15}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                 /                                      ___________\ /                                      ___________\ /                                    ___________\ /                                    ___________\ /                                      ___________\ /                                      ___________\ /                                    ___________\ /                                    ___________\
                 |  10____   10___  3/5                /       ___ | |  10____   10___  3/5                /       ___ | |10____   10___  3/5                /       ___ | |10____   10___  3/5                /       ___ | |  10____   10___  3/5                /       ___ | |  10____   10___  3/5                /       ___ | |10____   10___  3/5                /       ___ | |10____   10___  3/5                /       ___ |
   10____ 10____ |  \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  | |  \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  | |\/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  | |\/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  | |  \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  | |  \/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  | |\/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  | |\/ 15    \/ 3 *5        10____    /  5   \/ 5  |
1*-\/ 15 *\/ 15 *|- ------ + ---------- - I*\/ 15 *  /   - + ----- |*|- ------ + ---------- + I*\/ 15 *  /   - + ----- |*|------ + ---------- - I*\/ 15 *  /   - - ----- |*|------ + ---------- + I*\/ 15 *  /   - - ----- |*|- ------ - ---------- - I*\/ 15 *  /   - - ----- |*|- ------ - ---------- + I*\/ 15 *  /   - - ----- |*|------ - ---------- - I*\/ 15 *  /   - + ----- |*|------ - ---------- + I*\/ 15 *  /   - + ----- |
                 \    4          4                 \/    8     8   / \    4          4                 \/    8     8   / \  4          4                 \/    8     8   / \  4          4                 \/    8     8   / \    4          4                 \/    8     8   / \    4          4                 \/    8     8   / \  4          4                 \/    8     8   / \  4          4                 \/    8     8   /

$$\sqrt[10]{15} \cdot 1 \left(- \sqrt[10]{15}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(\frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(\frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} - \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} - \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{3} \cdot 5^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{\sqrt[10]{15}}{4} + \sqrt[10]{15} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

-15

$$-15$$

Численный ответ

x1 = -1.0606369931948 - 0.770597882331752*i

x2 = 0.405127281674921 + 1.24685356527147*i

x3 = -1.0606369931948 + 0.770597882331752*i

x4 = 0.405127281674921 - 1.24685356527147*i

x5 = 1.0606369931948 + 0.770597882331752*i

x6 = -1.31101942303975

x7 = 1.31101942303975

x8 = -0.405127281674921 + 1.24685356527147*i

x9 = -0.405127281674921 - 1.24685356527147*i

x10 = 1.0606369931948 - 0.770597882331752*i

График