x^2+t-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2+t-1=0

Вы ввели

 2            
x  + t - 1 = 0

$$\left(t + x^{2}\right) - 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = t - 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1 + t) = 4 - 4*t

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{4 - 4 t}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{4 - 4 t}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

          _______________________                                      _______________________                              
       4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\
x1 = - \/  (1 - re(t))  + im (t) *cos|------------------------| - I*\/  (1 - re(t))  + im (t) *sin|------------------------|
                                     \           2            /                                   \           2            /

$$x_{1} = - i \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)}$$

        _______________________                                      _______________________                              
     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\
x2 = \/  (1 - re(t))  + im (t) *cos|------------------------| + I*\/  (1 - re(t))  + im (t) *sin|------------------------|
                                   \           2            /                                   \           2            /

$$x_{2} = i \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

     _______________________                                      _______________________                                    _______________________                                      _______________________                              
  4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\   4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\
- \/  (1 - re(t))  + im (t) *cos|------------------------| - I*\/  (1 - re(t))  + im (t) *sin|------------------------| + \/  (1 - re(t))  + im (t) *cos|------------------------| + I*\/  (1 - re(t))  + im (t) *sin|------------------------|
                                \           2            /                                   \           2            /                                 \           2            /                                   \           2            /

$$\left(- i \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(i \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/     _______________________                                      _______________________                              \ /   _______________________                                      _______________________                              \
|  4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\| |4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\|
|- \/  (1 - re(t))  + im (t) *cos|------------------------| - I*\/  (1 - re(t))  + im (t) *sin|------------------------||*|\/  (1 - re(t))  + im (t) *cos|------------------------| + I*\/  (1 - re(t))  + im (t) *sin|------------------------||
\                                \           2            /                                   \           2            // \                              \           2            /                                   \           2            //

$$\left(- i \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)}\right) \left(i \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(1 - \operatorname{re}{\left(t\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

    ________________________                            
   /             2     2      I*atan2(-im(t), 1 - re(t))
-\/  (-1 + re(t))  + im (t) *e                          

$$- \sqrt{\left(\operatorname{re}{\left(t\right)} - 1\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(t\right)}\right)^{2}} e^{i \operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(t\right)},1 - \operatorname{re}{\left(t\right)} \right)}}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = t - 1$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 0$$
$$x_{1} x_{2} = t - 1$$