Решение уравнений/ Любые/ x^-15=2x

x^-15=2x (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^-15=2x

    Решение

    Вы ввели [src]
     1       
--- = 2*x
 15      
x
    $$\frac{1}{x^{15}} = 2 x$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$\frac{1}{x^{15}} = 2 x$$
    преобразуем
    $$\frac{1}{x^{16}} = 2$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = -16 - содержит чётное число -16 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень -16-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\frac{1}{\sqrt[16]{\frac{1}{x^{16}}}} = \frac{1}{\sqrt[16]{2}}$$
    $$\frac{1}{\sqrt[16]{\frac{1}{x^{16}}}} = \frac{-1}{\sqrt[16]{2}}$$
    или
    $$x = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
    $$x = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 2^15/16/2

    Получим ответ: x = 2^(15/16)/2
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -2^15/16/2

    Получим ответ: x = -2^(15/16)/2
    или
    $$x_{1} = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$

    Остальные 14 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$\frac{1}{z^{16}} = 2$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$\frac{e^{- 16 i p}}{r^{16}} = 2$$
    где
    $$r = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{- 16 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$- i \sin{\left(16 p \right)} + \cos{\left(16 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(16 p \right)} = 1$$
    и
    $$- \sin{\left(16 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = - \frac{\pi N}{8}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
    $$z_{2} = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
    $$z_{3} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
    $$z_{4} = \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
    $$z_{5} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
    $$z_{6} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
    $$z_{7} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
    $$z_{8} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
    $$z_{9} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$z_{10} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$z_{11} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$z_{12} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$z_{13} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$z_{14} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$z_{15} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$z_{16} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
    $$x_{3} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
    $$x_{4} = \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
    $$x_{5} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
    $$x_{6} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
    $$x_{7} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
    $$x_{8} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
    $$x_{9} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$x_{10} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$x_{11} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$x_{12} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
    $$x_{13} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$x_{14} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$x_{15} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    $$x_{16} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    График
    Построить график f1(x)
    Построить график f2(x)
    Быстрый ответ [src]
           15 
       -- 
       16 
     -2   
x1 = -----
       2
    $$x_{1} = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
          15
      --
      16
     2  
x2 = ---
      2
    $$x_{2} = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
             15 
         -- 
         16 
     -I*2   
x3 = -------
        2
    $$x_{3} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
            15
        --
        16
     I*2  
x4 = -----
       2
    $$x_{4} = \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
            7/16      7/16
       2       I*2    
x5 = - ----- - -------
         2        2
    $$x_{5} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
            7/16      7/16
       2       I*2    
x6 = - ----- + -------
         2        2
    $$x_{6} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
          7/16      7/16
     2       I*2    
x7 = ----- - -------
       2        2
    $$x_{7} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
          7/16      7/16
     2       I*2    
x8 = ----- + -------
       2        2
    $$x_{8} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
            15      ___________      15      ___________
        --     /       ___       --     /       ___ 
        16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
       2  *  /   - - -----    I*2  *  /   - + ----- 
           \/    2     4            \/    2     4   
x9 = - -------------------- - ----------------------
                2                       2
    $$x_{9} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
             15      ___________      15      ___________
         --     /       ___       --     /       ___ 
         16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
        2  *  /   - - -----    I*2  *  /   - + ----- 
            \/    2     4            \/    2     4   
x10 = - -------------------- + ----------------------
                 2                       2
    $$x_{10} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
           15      ___________      15      ___________
       --     /       ___       --     /       ___ 
       16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
      2  *  /   - - -----    I*2  *  /   - + ----- 
          \/    2     4            \/    2     4   
x11 = -------------------- - ----------------------
               2                       2
    $$x_{11} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
           15      ___________      15      ___________
       --     /       ___       --     /       ___ 
       16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
      2  *  /   - - -----    I*2  *  /   - + ----- 
          \/    2     4            \/    2     4   
x12 = -------------------- + ----------------------
               2                       2
    $$x_{12} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
             15      ___________      15      ___________
         --     /       ___       --     /       ___ 
         16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
        2  *  /   - + -----    I*2  *  /   - - ----- 
            \/    2     4            \/    2     4   
x13 = - -------------------- - ----------------------
                 2                       2
    $$x_{13} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
             15      ___________      15      ___________
         --     /       ___       --     /       ___ 
         16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
        2  *  /   - + -----    I*2  *  /   - - ----- 
            \/    2     4            \/    2     4   
x14 = - -------------------- + ----------------------
                 2                       2
    $$x_{14} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
           15      ___________      15      ___________
       --     /       ___       --     /       ___ 
       16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
      2  *  /   - + -----    I*2  *  /   - - ----- 
          \/    2     4            \/    2     4   
x15 = -------------------- - ----------------------
               2                       2
    $$x_{15} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
           15      ___________      15      ___________
       --     /       ___       --     /       ___ 
       16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
      2  *  /   - + -----    I*2  *  /   - - ----- 
          \/    2     4            \/    2     4   
x16 = -------------------- + ----------------------
               2                       2
    $$x_{16} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -0.957603280698574
    x2 = 0.957603280698574
    x3 = -0.957603280698574*i
    x4 = 0.957603280698574*i
    x5 = -0.677127773468446 - 0.677127773468446*i
    x6 = -0.677127773468446 + 0.677127773468446*i
    x7 = 0.677127773468446 - 0.677127773468446*i
    x8 = 0.677127773468446 + 0.677127773468446*i
    x9 = -0.366458910301801 - 0.884710071303073*i
    x10 = -0.366458910301801 + 0.884710071303073*i
    x11 = 0.366458910301801 - 0.884710071303073*i
    x12 = 0.366458910301801 + 0.884710071303073*i
    x13 = -0.884710071303073 - 0.366458910301801*i
    x14 = -0.884710071303073 + 0.366458910301801*i
    x15 = 0.884710071303073 - 0.366458910301801*i
    x16 = 0.884710071303073 + 0.366458910301801*i
    График
    x^-15=2x (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/5/db/7210de080818c98c7ed2e26d03cd4.png