x^5=243 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5=243

Вы ввели

 5      
x  = 243

$$x^{5} = 243$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} = 243$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{243}$$
или
$$x = 3$$
Получим ответ: x = 3

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 243$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 243$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} - 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} - 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

x1 = 3

$$x_{1} = 3$$

                              ___________
               ___           /       ___ 
       3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  
x2 = - - + ------- - 3*I*  /   - + ----- 
       4      4          \/    8     8   

$$x_{2} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                              ___________
               ___           /       ___ 
       3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  
x3 = - - + ------- + 3*I*  /   - + ----- 
       4      4          \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                              ___________
               ___           /       ___ 
       3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  
x4 = - - - ------- - 3*I*  /   - - ----- 
       4      4          \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} - 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                              ___________
               ___           /       ___ 
       3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  
x5 = - - - ------- + 3*I*  /   - - ----- 
       4      4          \/    8     8   

$$x_{5} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                 ___________                            ___________                            ___________                            ___________
                  ___           /       ___              ___           /       ___              ___           /       ___              ___           /       ___ 
          3   3*\/ 5           /  5   \/ 5       3   3*\/ 5           /  5   \/ 5       3   3*\/ 5           /  5   \/ 5       3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  
0 + 3 + - - + ------- - 3*I*  /   - + -----  + - - + ------- + 3*I*  /   - + -----  + - - - ------- - 3*I*  /   - - -----  + - - - ------- + 3*I*  /   - - ----- 
          4      4          \/    8     8        4      4          \/    8     8        4      4          \/    8     8        4      4          \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} - 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\left(0 + 3\right) - \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) - \left(\frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /                         ___________\ /                         ___________\ /                         ___________\ /                         ___________\
    |          ___           /       ___ | |          ___           /       ___ | |          ___           /       ___ | |          ___           /       ___ |
    |  3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  | |  3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  | |  3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  | |  3   3*\/ 5           /  5   \/ 5  |
1*3*|- - + ------- - 3*I*  /   - + ----- |*|- - + ------- + 3*I*  /   - + ----- |*|- - - ------- - 3*I*  /   - - ----- |*|- - - ------- + 3*I*  /   - - ----- |
    \  4      4          \/    8     8   / \  4      4          \/    8     8   / \  4      4          \/    8     8   / \  4      4          \/    8     8   /

$$1 \cdot 3 \left(- \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} - 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

243

$$243$$

Численный ответ

x1 = -2.42705098312484 - 1.76335575687742*i

x2 = 3.0

x3 = -2.42705098312484 + 1.76335575687742*i

x4 = 0.927050983124842 - 2.85316954888546*i

x5 = 0.927050983124842 + 2.85316954888546*i

График