x^5=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5=8

Вы ввели

 5    
x  = 8

$$x^{5} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{8}$$
или
$$x = 2^{\frac{3}{5}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^3/5

Получим ответ: x = 2^(3/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 8$$
где
$$r = 2^{\frac{3}{5}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2^{\frac{3}{5}}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2^{\frac{3}{5}}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

      3/5
x1 = 2   

$$x_{1} = 2^{\frac{3}{5}}$$

                                       ___________
        3/5    3/5   ___              /       ___ 
       2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5  
x2 = - ---- + ---------- - I*2   *  /   - + ----- 
        4         4               \/    8     8   

$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                       ___________
        3/5    3/5   ___              /       ___ 
       2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5  
x3 = - ---- + ---------- + I*2   *  /   - + ----- 
        4         4               \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                       ___________
        3/5    3/5   ___              /       ___ 
       2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5  
x4 = - ---- - ---------- - I*2   *  /   - - ----- 
        4         4               \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                       ___________
        3/5    3/5   ___              /       ___ 
       2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5  
x5 = - ---- - ---------- + I*2   *  /   - - ----- 
        4         4               \/    8     8   

$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                             ___________                                     ___________                                     ___________                                     ___________
              3/5    3/5   ___              /       ___       3/5    3/5   ___              /       ___       3/5    3/5   ___              /       ___       3/5    3/5   ___              /       ___ 
     3/5     2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5       2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5       2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5       2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5  
0 + 2    + - ---- + ---------- - I*2   *  /   - + -----  + - ---- + ---------- + I*2   *  /   - + -----  + - ---- - ---------- - I*2   *  /   - - -----  + - ---- - ---------- + I*2   *  /   - - ----- 
              4         4               \/    8     8         4         4               \/    8     8         4         4               \/    8     8         4         4               \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\left(0 + 2^{\frac{3}{5}}\right) - \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) - \left(\frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /                                  ___________\ /                                  ___________\ /                                  ___________\ /                                  ___________\
       |   3/5    3/5   ___              /       ___ | |   3/5    3/5   ___              /       ___ | |   3/5    3/5   ___              /       ___ | |   3/5    3/5   ___              /       ___ |
   3/5 |  2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5  | |  2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5  | |  2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5  | |  2      2   *\/ 5       3/5    /  5   \/ 5  |
1*2   *|- ---- + ---------- - I*2   *  /   - + ----- |*|- ---- + ---------- + I*2   *  /   - + ----- |*|- ---- - ---------- - I*2   *  /   - - ----- |*|- ---- - ---------- + I*2   *  /   - - ----- |
       \   4         4               \/    8     8   / \   4         4               \/    8     8   / \   4         4               \/    8     8   / \   4         4               \/    8     8   /

$$1 \cdot 2^{\frac{3}{5}} \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

8

$$8$$

Численный ответ

x1 = 0.468382177707358 + 1.44153211743623*i

x2 = 1.5157165665104

x3 = 0.468382177707358 - 1.44153211743623*i

x4 = -1.22624046096256 + 0.890915844450195*i

x5 = -1.22624046096256 - 0.890915844450195*i

График