- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- уравнение:
- 2*x+9=39
- z^4+6*i=6
- y-b*y-8=0
- x+y+6=x*y
- 7m-11=3m+5
- (6х-2)×(х+4)-6(х+5)×(х-1)=0
- Сумма корней:
- x^2+20*x+91=0
- (x^2-6)/(x-3)=x/(x-3)
- x^2+3*x+45=20-7*x
- sin(z)=3*i/4
- (x+1)^2-3=0
- 10/(x-4)+4/(x-10)=2
- Произведение корней:
- (x-3)^4-5*(x-3)^2+4=0
- sin(x)/2=1/2
- x^3-5*x^2-4*x+20=0
- 2*x^2-9*x+7=0
- x^2=3*x+18
- |6*x^2-7*x+2|=2-x
- Выразите переменную {x} через {y} из:
- 2*x+13*y=19
- -12*x+6*y=-12
- 10*x+19*y=-3
- 7*x+12*y=9
- 4*x-20*y=-3
- 15*x+15*y=-4
Идентичные выражения
- x^ пятнадцать - один = ноль
- х в степени 15 минус 1 равно 0
- х в степени пятнадцать минус один равно ноль
- x15 -1 = 0
Похожие выражения
- x^2*x^2 = 0
- x^2-2*x+1 = 0
- 4*x^2 - 36 = 0
- x^15 +1 = 0
- Информация для покупателей
x^15 -1 = 0 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^15 -1 = 0
Решение
Подробное решение
$$x^{15} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 15 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 15-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[15]{x^{15}} = \sqrt[15]{1}$$
или
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1
Остальные 14 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{15} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{15} e^{15 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{15 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(15 p \right)} + \cos{\left(15 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(15 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(15 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{15}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{9} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$z_{11} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$z_{12} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$z_{13} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$z_{14} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{15} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{8} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{9} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$x_{11} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$x_{12} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$x_{13} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$x_{14} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{15} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
Быстрый ответ
[src]
x1 = 1
/ ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - - ----- ___ ____| \/ 3 * / - - -----
1 \/ 5 |\/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x2 = - + ----- + I*|---------------- - ----- - ------| + ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - - ----- ___ ____| \/ 3 * / - - -----
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x3 = - + ----- + I*|- ---------------- + ----- + ------| + ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - + ----- ____ ___| \/ 3 * / - + -----
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 15 \/ 3 | \/ 8 8
x4 = - - ----- + I*|- ---------------- - ------ + -----| + ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - + ----- ___ ____| \/ 3 * / - + -----
1 \/ 5 |\/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x5 = - - ----- + I*|---------------- - ----- + ------| + ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - - ----- ___ ____| \/ 3 * / - - -----
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x6 = - + ----- + I*|- ---------------- - ----- - ------| - ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - - ----- ___ ____| \/ 3 * / - - -----
1 \/ 5 |\/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x7 = - + ----- + I*|---------------- + ----- + ------| - ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - + ----- ____ ___| \/ 3 * / - + -----
1 \/ 5 |\/ 8 8 \/ 15 \/ 3 | \/ 8 8
x8 = - - ----- + I*|---------------- - ------ + -----| - ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 ___
1 I*\/ 3
x9 = - - - -------
2 2 ___
1 I*\/ 3
x10 = - - + -------
2 2 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x11 = - - + ----- - I* / - + -----
4 4 \/ 8 8 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x12 = - - + ----- + I* / - + -----
4 4 \/ 8 8 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x13 = - - - ----- - I* / - - -----
4 4 \/ 8 8 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x14 = - - - ----- + I* / - - -----
4 4 \/ 8 8 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - + ----- ___ ____| \/ 3 * / - + -----
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x15 = - - ----- + I*|- ---------------- - ----- + ------| - ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2
Численный ответ
[src]
x1 = -0.104528463267653 + 0.994521895368273*i
x2 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i
x3 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x4 = 0.669130606358858 + 0.743144825477394*i
x5 = 0.913545457642601 - 0.4067366430758*i
x6 = -0.978147600733806 - 0.207911690817759*i
x7 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i
x8 = 0.669130606358858 - 0.743144825477394*i
x9 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i
x10 = -0.104528463267653 - 0.994521895368273*i
x11 = -0.978147600733806 + 0.207911690817759*i
x12 = 0.913545457642601 + 0.4067366430758*i
x13 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x14 = 1.0
x15 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i
График